11、随机、控制、机器人技术与相关变换的深入剖析

随机、控制、机器人技术与相关变换的深入剖析

1. 随机控制与偏微分方程基础

在随机控制与机器人技术领域，偏微分方程起着关键作用。首先，我们来看一些重要的偏微分方程相关概念。

对于函数 $\phi$ 和 Sobolev 分布 $u$，定义了如下范数：
- $|\phi| s = \left(\frac{1}{(2\pi)^N}\int(1 + |\xi|^2)^s|\hat{\phi}(\xi)|^2d\xi\right)^{\frac{1}{2}}$
- $|u|_s = \sup {\phi:|\phi| {-s}\neq 0}\frac{|\langle\phi, u\rangle|}{|\phi| {-s}}$
其中，$H_s = {u:|u|_s < \infty}$ 。并且有 $\langle\phi, u\rangle = \int(1 + |\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\hat{\phi}(\xi)(1 + |\xi|^2)^{-\frac{s}{2}}\hat{u}(\xi)d\xi$ 。

设 $\Delta$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的拉普拉斯算子，则有 $\int(1 + |\xi|^2)^s|\hat{u}(\xi)|^2d\xi = \int(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u(x)dx = |(1 - \Delta)^{\frac{s}{2}}u|^2_{L^2(\mathbb{R}^n)}$ 。

还定义了 $H = \cap_{s\in\mathbb{R}}H_s = {u:\int(1 + |\xi|^2)^s|\