3、随机、控制与机器人技术中的理论与应用解析

随机、控制与机器人技术中的理论与应用解析

1. 随机算子的基本性质

随机算子 (T_{t,s})（其中 (t \geq s)）具有重要性质，(T_{t,s}(1) = 1)，并且满足 (T_{t_3,t_2}T_{t_2,t_1} = T_{t_3,t_1})（(t_3 \geq t_2 \geq t_1)），同时 (T_{t,s}) 是完全正的。若 (X_{\alpha})（(\alpha = 1, 2, \cdots, N)）是代数 (\infty) 上的算子，且 (\infty = \mathcal{B}(H))，(u_{\alpha} \in H)，则有 (\bigoplus_{\alpha = 1}^{N} u_{\alpha}^ T_{t,s}(X_{\alpha} X_{\beta}^ ) \bigoplus_{\beta = 1}^{N} u_{\beta} \geq 0)，等价地，(\sum_{\alpha, \beta = 1}^{N} u_{\alpha}^* T_{t,s}(X_{\alpha} X_{\beta}) v_{\beta} \geq 0)。

在经典情况下，(T_{t,s}(X) = \mathbb{E}(X|F_s))，(X \in L^2(F_t))，(T_{t,s}: L^2(F_t) \to L^2(F_s))。若 (X_{\alpha} \in L^2(F_t))（(1 \leq \alpha \leq N)），则 (T_{t,s}(X_{\alpha} X_{\beta}) = \mathbb{E}[X_{\alpha} X_{\beta} | F_s])，且 (\sum_{\alpha, \beta = 1}^{N} u_{\a