9、随机基因表达模型与外尔代数

随机基因表达模型与外尔代数

1. 引言

从随机角度出发，通过化学反应系统对基因调控网络进行建模时，可关联一个随时间变化的随机变量，用于统计各种化学物质的分子数量。该随机变量的矩（均值、方差、协方差）随时间的演化，至少对于一阶化学反应系统而言，可用常微分方程（ODE）系统来描述。构建这些 ODE 系统通常需以下三个步骤：
1. 为概率生成函数 φ(t, z) 计算类似薛定谔方程，其中 t 表示时间，z 表示形式变量向量。
2. 对该方程关于 t 计算迭代导数。
3. 在 z = 1 处计算微分方程的值。

本文展示了如何使用外尔代数方法构建这些 ODE 系统。其核心思想是使用欧拉导数算子（形式为 z ∂/∂z）而非传统的偏导数（形式为 ∂/∂z）来表述类似薛定谔方程。外尔代数的使用带来了新算法，相较于基于偏导数的等效方法，似乎更高效。这体现在以下几点：
- 能将上述步骤 2 和 3 “一步完成”，从而减少步骤 2 产生的表达式膨胀。
- 能证明一个更紧凑、更简单的公式。
- 可在类似薛定谔方程中编码系统的线性守恒定律，在方法的第一步就利用这些定律。

2. 经典理论

2.1 化学反应系统

一个化学反应系统由一组化学物质 (R1, R2, …, Rn) 和一组化学反应组成，反应形式如下：
α1R1 + · · · + αnRn $\stackrel{c}{\longrightarrow}$ β1R1 + · · · + βnRn
其中 α = (α1, α2, …, αn)，β = (β1, β2, …, βn) 是非负整数的多重指标，c 是正实值动力学常数。系