15、拓扑数据分析在科学可视化中的前沿挑战与进展

拓扑数据分析在科学可视化中的前沿挑战与进展

1. 新兴数据类型的挑战

在科学可视化领域，新兴数据类型给拓扑数据分析带来了新的挑战。主要的新兴数据类型包括双变量数据和不确定数据。

对于双变量数据，拓扑抽象在特征提取和传递函数设计中具有潜在应用。然而，要使这种拓扑抽象在实践中发挥作用，就像对标量数据那样，需要将持久同调概念推广到双变量数据，以实现高效的简化算法。未来，一个主要的研究挑战是将拓扑数据分析推广到双变量数据，具体包括扩展持久同调概念以及将Reeb图在可视化中的应用拓展到双变量情况。

不确定数据方面，物理模型通常由多个参数（如初始条件、边界条件等）决定。随着高性能计算（HPC）的发展，对参数空间进行精细采样变得可行，这种过程称为参数研究，它对于理解物理过程中的不确定性至关重要。参数研究可以识别复杂系统高效安全运行的参数范围，同时会生成一组标量场，这些标量场模拟了不确定过程，通常被称为集合数据集，每个标量场是该集合的一个成员。从另一个角度看，每个标量场可以看作是一个不确定标量场的观测值，该不确定标量场将域中的每个点映射到一个随机变量。在这种情况下，数据通常通过概率密度函数（例如通过直方图估计）为域的每个顶点表示。

分析这组标量场以识别、提取和理解特征出现的条件，是可视化和分析领域即将面临的重大挑战。对于不确定数据，考虑的标量场数量通常比多变量数据多。从理论上讲，多变量数据的拓扑分析只有在值域维度低于定义域维度（通常为三维）时才有应用价值。例如，当n = 3时，定义在PL 3 - 流形M上的通用多变量标量场的Reeb空间就是M本身。因此，对于超出定义域维度的n值，需要考虑其他方向。所以，多变量场的拓扑分析对于不确定数据的处理似乎不太重要。相反，将拓扑数据分析的