10、拓扑抽象交互编辑与湍流燃烧模拟分析

拓扑抽象交互编辑与湍流燃烧模拟分析

1. 基于Reeb图的表面分割与参数化

在考虑嵌入在(R^3)中的封闭PL 2 - 流形(M)时，Reeb图在表面分割和参数化方面发挥着重要作用。Reeb图是研究函数拓扑结构的有力工具，它能将复杂的表面信息进行简化和抽象。
- Reeb图的定义 ：对于一个嵌入在(R^3)中的封闭PL 2 - 流形(M)，通过函数(f)构建Reeb图。Reeb图中的每个节点代表函数(f)的极值点或鞍点，边则连接这些节点，表示函数值的变化路径。
- Reeb图与表面分割 ：基于Reeb图，我们可以将表面(M)分割成多个Reeb图块。每个Reeb图块是(f)的规则等值线的连续堆叠，不包含临界等值线，具有开放环形的拓扑结构（一个连通的零亏格表面，排除两个边界组件）。这种分割方式使得我们能够更清晰地理解表面的拓扑结构，为后续的参数化和网格划分提供基础。
- Reeb图块的参数化 ：
- 对于开放环形的Reeb图块(M_i)，通过求解具有狄利克雷边界条件的两个调和函数，将其映射到单位正方形。具体来说，首先计算与(f)的等值线对齐的场(U)，通过约束(M_i)的边界顶点到两个临界等值线，使其取值为(U = 0)或(U = 1)。然后，通过沿着(M_i)的网格边缘追踪由(U)的梯度引导的切割积分线，计算正交场(V)，将环形转换为具有圆盘拓扑的四边形图块。
- 对于映射到(R(f))的1 - 单形(\sigma_i)且其面是(f)的极值点的像的Reeb图块(M_i)，将相邻的边界三角形包含在(M_i)内，使其具有单个边界组件并与圆盘同胚。然后将边界顶点分割成四个连