9、拓扑抽象的交互式编辑

拓扑抽象的交互式编辑

1. 拓扑抽象概述

拓扑抽象在科学可视化的数据分割中是基础的数据结构。其中，Reeb图及其变体适用于感兴趣区域的边界与等值线对齐的情况，而Morse - Smale复形则适用于特征（或其边界）与梯度对齐的情况。尽管这些方法在很多应用中能得到很好的分类分数，但与领域专家的手动标注相比，仍会出现假阴性的识别结果。接下来将介绍两种交互式编辑拓扑抽象的方法，以将用户知识融入其中。

2. Morse - Smale复形编辑

2.1 符合要求的离散梯度

• 定义 ：给定一个规则胞腔复形 $K$，输入标量数据 $\mathcal{O}f: K^0 \to \mathbb{R}$ 以及从胞腔 $K$ 到索引集 $S \subseteq \mathbb{Z}$ 的满射 $I: K \to S$。离散梯度向量场 $V$ 符合映射 $I$ 当且仅当对于每个离散向量 $\langle \alpha_i, \beta_{i + 1} \rangle \in V$，有 $I(\alpha_i) = I(\beta_{i + 1})$，即离散向量的首尾在 $I$ 中有相同的标签。
• 空间关系 ：离散梯度向量场的空间与符合要求的离散梯度向量场的空间相同。因为每个符合要求的离散梯度向量场都是离散梯度向量场，且任何离散梯度向量场 $V$ 在映射 $I(\alpha) = 1$ 下也是符合要求的离散向量场。如果离散梯度向量场 $V$ 符合映射 $I$，则称 Morse - Smale 复形 $MS(f)$ 符合映射 $I$。