2、拓扑数据分析中的基础概念与抽象

拓扑数据分析中的基础概念与抽象

在拓扑数据分析领域，有一系列关键的基础概念和抽象方法，它们对于理解和处理数据的拓扑结构至关重要。下面将详细介绍这些内容。

1. 数据表示

在拓扑数据分析中，数据的表示是基础。首先，我们介绍一些重要的拓扑概念。

• 分段线性流形（Piecewise Linear Manifold） ：将流形 $M$ 进行三角剖分后得到的结构称为分段线性流形，记为 $M$。它可以通过存储每个维度 $d$ 的 $d$ - 单形列表以及它们的星和链来高效地在内存中表示。
• 拓扑不变量（Topological Invariants） ：在对域进行连续变换（点位置变化但连接性不变）时不改变的实体，在拓扑数据分析中起着重要作用。以下是一些常见的拓扑不变量：
  • 路径（Path） ：从开区间 $(a, b) \subseteq \mathbb{R}$ 到拓扑空间 $X$ 的子集 $C$ 的同胚 $p: (a, b) \to C$ 称为 $X$ 上从 $p(a)$ 到 $p(b)$ 的路径。
  • 连通拓扑空间（Connected Topological Space） ：如果拓扑空间 $X$ 中任意两点之间都存在路径，则称 $X$ 是连通的。
  • 连通分量（Connected Components） ：拓扑空间 $X$ 的最大连通子集称为其连通分量。