USACO - 3.1.6 - Stamps

 


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摘要:动态规划

一. 题目翻译

1. 描述:
  已知一个 N 枚邮票的面值集合(如,{1 分,3 分})和一个上限 K —— 表示信封上能够贴 K 张邮票。计算从 1 到 M 的最大连续可贴出的邮资。
          例如,假设有 1 分和 3 分的邮票;你最多可以贴 5 张邮票。很容易贴出 1 到 5 分的邮资(用 1 分邮票贴就行了),接下来的邮资也不难:
          6 = 3 + 3 
          7 = 3 + 3 + 1 
          8 = 3 + 3 + 1 + 1 
          9 = 3 + 3 + 3 
          10 = 3 + 3 + 3 + 1 
          11 = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 
          12 = 3 + 3 + 3 + 3 
          13 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1
          然而,使用 5 枚 1 分或者 3 分的邮票根本不可能贴出 14 分的邮资。因此,对于这两种邮票的集合和上限 K=5,答案是 M=13。 [规模最大的一个点的时限是3s]

          小提示:因为14贴不出来,所以最高上限是13而不是15

2. 格式:

          INPUT FORMAT:

          第 1 行: 两个整数,K 和 N。K(1 <= K <= 200)是可用的邮票总数。N(1 <= N <= 50)是邮票面值的数量。
          第 2 行 .. 文件末: N 个整数,每行 15 个,列出所有的 N 个邮票的面值,每张邮票的面值不超过 10000。

          OUTPUT FORMAT:

  第 1 行:一个整数,从 1 分开始连续的可用集合中不多于 K 张邮票贴出的邮资数。

3. SAMPLE:
          SAMPLE INPUT:
5 2
1 3
          SAMPLE OUTPUT:
13

          
二.  题解

1. 题意理解(将问题分析清楚,大致用什么思路):
          这道题目还是可以使用动态规划的,我们使用一个数组needs[i]表示产生面值为i的邮资需要的最少的邮票数量。然后遍历needs[i],如果needs[i]大于我们输入的最大可使用的邮票数量,则输出i-1为满足要求的最大面值。

 

2. 具体实现(具体实现过程中出现的问题):
         状态转移方程如下needs[i] = min {needs[i] , needs[i-prize[k]]+1}(k=1..N)。具体实现请参考代码。


三.  代码

/*
ID:fightin1
LANG:JAVA
TASK:stamps
*/
package session_3_1_6;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.io.FileReader;
import java.io.FileWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class stamps {

	public static void main(String[] args) throws Exception {
//		Scanner in = new Scanner(System.in);
//		PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out);
		
		Scanner in = new Scanner(new BufferedReader(new FileReader(
		"stamps.in")));
		PrintWriter pw = new PrintWriter(new BufferedWriter(new FileWriter(
		"stamps.out")));
		
		int K = in.nextInt();
		int N = in.nextInt();
		int[] needs = new int[2000000]; //动态规划用数组 , needs[i]表示产生面值为i的邮资所用的最少的邮票数量。
		int[] stamps = new int[N]; //输入提供的各种邮票的面值
		Arrays.fill(needs, Integer.MAX_VALUE);
		
		for (int j=0;j<N;j++){
			stamps[j] = in.nextInt();
		}
		
		int i = 0;
		needs[0] = 0;
		for (;needs[i]<=K;){
			i++;
			for (int j=0;j<stamps.length;j++){
				if (stamps[j]<=i){
					needs[i] = min(needs[i] ,needs[i-stamps[j]]+1); //状态转移方程
				}
			}
		}
		pw.println(i-1);
		pw.close();
	}
	
	public static int min(int a , int b){
		return a<b?a:b;
	}

}


### USACO 1327 Problem Explanation USACO 1327涉及的是一个贪心算法中的区间覆盖问题。具体来说,这个问题描述了一组奶牛可以工作的班次范围,并要求找出最少数量的奶牛来完全覆盖所有的班次。 对于此类问题的一个有效方法是采用贪心策略[^1]。首先按照区间的结束时间从小到大排序这些工作时间段;如果结束时间相同,则按开始时间从早到晚排列。接着遍历这个有序列表,在每一步都尽可能选择最早能完成当前未被覆盖部分的工作时段。通过这种方式逐步构建最终解集直到所有的时间段都被覆盖为止。 为了提高效率并防止超时错误,建议使用`scanf()`函数代替标准输入流操作符`cin`来进行数据读取处理[^2]。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; struct Interval { int start; int end; }; bool compareIntervals(const Interval& i1, const Interval& i2) { return (i1.end < i2.end || (i1.end == i2.end && i1.start < i2.start)); } int main() { vector<Interval> intervals = {{1, 7}, {3, 6}, {6, 10}}; sort(intervals.begin(), intervals.end(), compareIntervals); int currentEnd = 0; int count = 0; for (const auto& interval : intervals) { if (interval.start > currentEnd) break; while (!intervals.empty() && intervals.front().start <= currentEnd) { if (intervals.front().end >= interval.end) { interval = intervals.front(); } intervals.erase(intervals.begin()); } currentEnd = interval.end; ++count; if (currentEnd >= 10) break; // Assuming total shift length is known. } cout << "Minimum number of cows needed: " << count << endl; } ``` 此代码片段展示了如何实现上述提到的方法解决该类问题。需要注意的是实际比赛中可能还需要考虑更多边界条件以及优化细节以满足严格的性能需求。
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