【动态规划】两个数组的 dp 问题一-优快云博客

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两个数组的 dp 问题

1.最长公共子序列
2.不相交的线
3.不同的子序列
4.通配符匹配

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1.最长公共子序列

题目链接：1143. 最长公共子序列

题目描述：

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算法原理：

1.状态表示

这道题是遇到新的类型的题，两个字符串的dp问题。并且求的是最长公共子序列，我们很多题的经验就是从这道题来到。我们先总结一下这个经验。

经验 + 题目要求

选取第一个字符串 [0, i] 区间以及第二个字符串 [0, j] 区间作为研究对象
根据题目要求，确定状态表示

先以这两段区间来研究，这道题研究的是最长公共子序列。也就是说先看看上面s1这个区间所有子序列，以及下面s2这个区间所有子序列，其中的最长子序列。

dp[i][j] 表示：s1 的 [0, i] 区间以及 s2 的[0, j] 区间内所有子序列中，最长公共子序列的长度。

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如果以某个位置为结尾所有子序列，还有在去找子序列，时间复杂O(N^4)，而我们这里的子序列是所有的子序列，比如是说 [0,i] 区间所有的子序列。这个子序列既包含以i为结尾，也包含不以i为结尾的。

2.状态转移方程

根据最后一个位置的情况，分情况讨论

如果最后一个位置字符相等 s[i] == s[j]

是不是可以先在s1 [ 0 , i-1] 和 s2 [0 , j - 1]区间内所有子序列找最长公共子序列长度然后加上 1就行了

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如果最后一个位置字符相等 s[i] != s[j]

那么最长公共子序列一定不是以 i j 位置为结尾，也就是说最长公共子序列一定不是同时选择 i 和 j 位置。那可以这样选

s1[0, i - 1]，s2[0, j] ，不选 i
s1[0, i]，s2[0, j -1] ，不选 j
s1[0, i - 1]，s2[0, j - 1]， i j都不选

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我们一般找状态转移方程要把所有情况不重不漏都找完，情况1 和情况2 都包含情况3。但是注意我们的状态表示是最长公共子序列的长度，我们要找的是多种情况的max。所有这里的重复不会影响。但是如果要找的是公共子序列的个数，那就有问题了。遇到了再说。还有情况1和情况2包括情况3，所以填表的时候情况3就不用考虑了。

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3.初始化

关于字符串的 dp 问题：空串是有研究意义的

比如 s1 选一个空串，s2 选一个空串，其实也是一个公共子序列，不过公共子序列长度为0。

引入空串的概念之后，会方便我们的初始化

s1 [0，i] 区间，i最小0，最差就是 [0，0]是一定有一个字符的，如何表示空串呢？可以在原始 dp 表上多来一行一列，第一行表示第一个字符串为空，第二行表示第二个字符串为空。

并且填表也不会越界了。而且第一行表示第一个字符串为空，所以最长公共子序为0，第一列表示第二个字符串为空，所以最长公共子序也是0。

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引入辅助节点要注意两个注意事项：

里面的值要保证我们后序填表是正确的
下标的映射关系

因为多开一行一列相当于dp表向右下移动一位，如果要回原表肯定是要 i-1，j-1。但是在字符串这里，我们可以在每个字符串前面加一个 ‘ ’，然后字符串有效字符就从1开始计数了。这个时候填表 1，1位置的时候就是对应字符串1，1位置。

4.填表顺序

填 i j 会遇到左上，上，左，因此从上往下填写每一行，每一行从左往右
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5.返回值

dp[i][j] 表示：s1 的 [0, i] 区间以及 s2 的[0, j] 区间内所有子序列中，最长公共子序列的长度，而我们要的是s1，s2整个字符串的最长子序列的长度。因此返回 dp[m][n]

class Solution {
   
public:
    int longestCommonSubsequence(string s1, string s2) {
   
        // 1.创建 dp 表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值

        int m = s1.size(), n = s2.size();
        s1 = ' ' + s1, s2 = ' ' + s2;// 处理下标映射关系
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));// 建表 + 初始化
        for(int i = 1; i <= m; ++i) // 从上往下每⼀⾏
            for(int j = 1; j <= n; ++j)// 每⼀⾏从左往右
                //if(s1[i - 1] == s2[j - 1])
                if(s1[i] == s2[j])
                    dp[i][j] = dp