算法概论习题解答8.22

8.22 问题描述： 在任务调度，常常会用到图。其中节点应用于任务，任务i到j的有向边表示i是j的先期条件。这样的图描述了调度问题中的任务先后关系（约束） 。显然，一个调度是可行的当且仅当该图无环；如果调度不可行，我们需要使其无环所需的最小约束数量。

给定一个有向图G =（V，E），子集E'⊆E称为一个反馈弧集，反馈弧集是指将其移除后，将使得G无环。

反馈弧集（FAS）：给定一个有向图G =（V，E）和预算b，求包含不超过b条边的反馈弧集合——如果这样的集合存在。

（a）证明 FAS是NP的

（b）证明，如果G包含一个大小B顶点覆盖，然后G' 包含反馈弧集尺寸B.

（c）证明如果G' 包含反馈弧集大小B，则G包含一个大小为顶点覆盖（最多）B（提示：给出一个反馈弧在G0，大小B组你可能需要fiRST稍微修改一下获得另一个人这是一个更方便的形式，但该相同或更小的尺寸。然后，认为G必须包含一个顶点覆盖的大小相同的莫迪fiED反馈弧集。）

证明：

a) 显然 FAS 是可在多项式时间内验证的，因此属于NP。

b) 设G 的一个大小为b 的顶点覆盖为C ，对于任意顶点v_i∈C ，设其在G' 中相对应的顶点为wi和wi'，则将边(wi , wi') 添加到E '。对C中的每个顶点都这样处理后，所得到的边集E '即是G' 的一个大小为b 的feedback arc set。因为对于顶点wi和wi'，当去掉边(wi , wi')后，所有与w i相连的边都不可能位于任何一个环中，因为w i不存在出边，同样，所有与wi'相连的边也不可能位于任何一个环中，因为wi' 不存在入边。

c) 对于G 中的任意一条边(v_i , v_i’)，设其在G' 中相对应的顶点为wi , wi '、w j、

wj ' ，相对应的边为(wi , wi ') 、(wj, wj ')、(wi ', wj) 、(wj ', wi)。若E '是G' 的一个大小为b 的feedbackarc set，显然，在这四条边中至少有一条边e属于E '，否则就会形成环，而边e必然有个端点属于{ wi , wj } 。若wi 是e 的端点，则将vi加入到C ，否则将vj 加入到C 。容易看出，在经过上述处理后，C 即是G 的一个大小不超过b 的顶点覆盖。