19、深入剖析：RSA 素数生成的侧信道攻击与格问题求解

深入剖析：RSA 素数生成的侧信道攻击与格问题求解

1. 格问题基础

在数学领域，格问题是一个重要的研究方向。对于格 (L)，其第 (i) 个连续的闵可夫斯基最小值 (\lambda_i(L)) 定义为包含至少 (i) 个线性无关（非零）格向量的最小球体的半径。特别地，第一个闵可夫斯基最小值 (\lambda_1(L)) 就是格中最短非零向量的长度，通常记为 (\lambda(L))。而 (\frac{\lambda_2(L)}{\lambda_1(L)}) 这个比值被称为格的间隙。

在格问题中，有两个比较有趣的问题：
- 唯一最短向量问题（Unique - SVP） ：给定一个格及其间隙，该问题的目标是找出格中的最短向量。
- 最近向量问题（CVP） ：对于一个给定的非格向量，要找到格中与之最接近的向量。有时，CVP 也被看作是 SVP 的非齐次变体。

格问题的解决方法

• Unique - SVP 的求解 ：通常可以使用 LLL 算法或其变体来解决 Unique - SVP 问题。有实验表明，当间隙 (\frac{\lambda_2}{\lambda_1}) 至少为 (1.021^k) 时，使用 LLL 算法的 BKZ - 20 变体可以解决该问题。
• CVP 的求解 ：可以尝试使用 Babai 的最近平面算法来解决 CVP 问题，但经验表明，将其启发式地转换为 Unique - SVP 问题能得到更好的结果。具体操作步骤如下：