RMQ问题

在看刘汝佳《训练指南》时看到一个很有趣的数据结构，摘录如下。

  范围最小值问题（Range Minimum Query, RMQ）。给出一个n个元素的数组{A1, A2, A3, ..., An},设计一个数据结构，来支持查询操作Query（L,R）：计算min{A1, A2, A3, ..., An}。
  令d(i, j)表示从i开始的，长度为2^j的一段元素中的最小值，则可以用递推的方法计算d(i,j):d(i,j)=min{d(i,j-1),d(i+2^(j-1), j-1)}。
  注意2^j<=n,因此d数组的元素个数不超过n*log(n),而每一项都可以在常数时间计算完毕，故总时间为n*log(n).
  关键代码如下：
  void RMQ_init(const vector<int>& A){
    int n = A.size();
    for(int i = 0; i < n; i++) d[i][0] = A[i];
    for(int j = 1; (1<<j) <= n; j++)//层的有效范围
        for(int i =0; i + (1<<j) - 1 < n; i++) //d[i][j]的结束位置为i+(1<<j)-1
            d[i][j] = min(d[i][j-1], d[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    //有动态规划的思想
}

查询操作，令k为满足2^k<=R-L+1的最大整数.

void RMQ(int L, int R){
    int k = 0;
    while(1<<(k+1) <= R-L+1) k++;
   //令k为满足2^k<=R-L+1的最大整数
    return min(d[L][k], d[R-(1<<k)+1][k]);
   //以L开头、以R结尾的两个长度为2^k的区间合起来即覆盖了查询区间[L,R].
}