29. Divide Two Integers（两数相除）两种解法（C++ & 注释）

1. 题目描述

给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2

示例 1:

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333…) = truncate(3) = 3

示例 2:

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333…) = -2

提示：

• 被除数和除数均为 32 位有符号整数。
• 除数不为 0。
• 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2^31, 2^31− 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 2^31 − 1。

题目链接：中文题目；英文题目

2. 减法（Subtraction, Time Limit Exceeded）

2.1 解题思路

最简单的思路就是：被除数每减去一次除数，计数加一，当被除数小于0的时候，根据被除数和除数的符号返回总计数即可。只是需要考虑一个很极端的情况：

被除数：INT_MIN，除数：-1

这种情况的结果是INT_MAX + 1，明显超过了整型能表示的最大值，所以这里需要额外判断一下。但是这个方法当被除数很大，除数很小的时候，比如刚才的例子，非常的耗时，所以超时了。

2.2 实例代码

class Solution {
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {
        bool minusOne = dividend >= 0 ? false : true, minusTwo = divisor >= 0 ? false : true;
        long long dividendTemp = dividend, divisorTemp = divisor;
        if (dividendTemp < 0) dividendTemp = -dividendTemp;
        if (divisorTemp < 0) divisorTemp = -divisorTemp;

        long long count = 0;
        while (dividendTemp >= 0) { count++; dividendTemp -= divisorTemp; }

        count--;
        if (minusOne && minusTwo || !minusOne && !minusTwo) {
            if (count >= INT_MAX) return INT_MAX;
            else return count;
        }
        return -count;
    }
};

3. 位操作（Bit Manipulation）

3.1 解题思路

上面的思路中是一个个地减去除数，如果想要节约时间，能不能一次性减去多个除数呢？也就是减去除数的倍数，但是题目要求不能使用乘法、除法和模运算，所以我们可以考虑使用位运算（左位移和右位移）：

1. 整型左位移1位，相当于原数 /= 2；并且移动的时候，最低位舍弃，负数最高位补1，正数最高位补0；
2. 整型右位移1位，相等于原数 *= 2；并且最低位补0，最高位舍弃；

比如1二进制表示为0001（省略前面的0），左位移一位变成0000 = 0，右位移一位变成0010 = 2。比如-1二进制表示为1111（省略前面的1），左位移一位不变还是1111 = -1，右位移一位变成1110 = -2；

所以我们可以利用左位移的特性，让被除数减去偶数倍的除数，操作步骤如下：

1. 初始化一个新的被除数（dividendTemp），一个新的除数（divisorTemp ），一个答案（ans）,一个倍数（times）。
2. 并且dividendTemp和divisorTemp 需要绝对值一下，保证计算时都是正数；
3. 然后判断一下结果是复数还是正数；
4. 如果除数是1，根据符号直接返回dividendTemp即可；
5. 接下来，判断一下dividendTemp是不是大于两倍的divisorTemp （divisorTemp << 1），如果是divisorTemp扩大两倍，times也扩大两倍；一直重复这一步直到dividendTemp不在大于两倍的divisorTemp，跳出循环的时候ans += times；
6. 接下来，判断一下dividendTemp是不是大于等于divisorTemp。如果是只需要ans += 1即可，因为这时dividendTemp最多只比divisorTemp大一倍
7. 当dividendTemp < divisorTemp，已经做完除法，根据符号返回ans即可；

举个例子：dividendTemp = 14，divisorTemp = 3。14大于两倍的3（= 6），也大于两倍的6（= 12），所以14 - 12 = 2 < 3，循环结束，我们返回4即可。

其实这个思路可以理解成用除数的偶数倍来做除法，最后返回的答案就是除数是被除数的多少倍。当我们保证被除数不大于两倍的除数，这时被除数要么小于除数，直接舍去结果即可（因为整型计算，没有小数）；被除数要么等于大于一倍的除数，小于两倍的除数，这时结果再加一即为最终结果。

3.2 实例代码

3.2.1 迭代实现

class Solution {
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {
        if (dividend == INT_MIN && divisor == -1) return INT_MAX;
        long dividendTemp = labs(dividend), divisorTemp = labs(divisor), ans = 0;
        bool ifPositive = (dividend < 0) ^ (divisor < 0) ? false : true; // 结果是正数还是负数，异或运算：相同为0，不同为1
        if (divisorTemp == 1) return ifPositive ? dividendTemp : -dividendTemp;
        while (dividendTemp >= divisorTemp) {
            long divisorMultiply = divisorTemp, times = 1;
            while (dividendTemp >= divisorMultiply << 1) {
                divisorMultiply <<= 1;
                times <<= 1;
            }

            ans += times;
            dividendTemp -= divisorMultiply;
        }

        return ifPositive ? ans : -ans;
    }
};

3.2.2 递归实现

class Solution {
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {
        long dividendTemp = labs(dividend), divisorTemp = labs(divisor);
        if (dividendTemp < divisorTemp) return 0;
        long divisorMulply = divisorTemp, times = 1, ans = 0;
        while (dividendTemp > (divisorMulply << 1)) { divisorMulply <<= 1; times <<= 1; }
        ans += times + divide(dividendTemp - divisorMulply, divisorTemp);
        if ((dividend < 0) ^ (divisor < 0)) ans = -ans;
        return ans >= INT_MAX ? INT_MAX : ans;
    }
};

4. 参考资料

1. [LeetCode] 29. Divide Two Integers 两数相除
2. C 库函数 - labs()
3. abs
4. labs
5. 负数的位运算问题
6. 位运算（&、|、^、~、>>、<<）

---