向量积

矩阵形式[编辑]

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i ×  j =  k           j ×  k =  i           k ×  i =  j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a =  a ₁ i +  a ₂ j +  a ₃ k = [ a ₁,  a ₂,  a ₃]

b =  b ₁ i +  b ₂ j +  b ₃ k = [ b ₁,  b ₂,  b ₃]

则

a ×  b = [a ₂b ₃ − a ₃b ₂, a ₃b ₁ − a ₁b ₃, a ₁b ₂ − a ₂b ₁]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a₁, a₂, a₃]表示成四元数a₁i + a₂j + a₃k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。