（UVA - 10892）LCM Cardinality（唯一分解定理/暴力）

最新推荐文章于 2019-04-23 22:46:14 发布

feng_zhiyu

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分类专栏： UVA 紫白书 ACM_数学文章标签： uva 唯一分解定理

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/feng_zhiyu/article/details/77524988

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本文提供了一种解决UVA-10892问题的方法，通过分解质因数来统计所有满足条件的正整数对(a, b)，使得它们的最小公倍数等于给定的n。提供了两种解法：一种是直接枚举因子求解，另一种是利用质因数分解优化计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：https://vjudge.net/problem/UVA-10892

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题意：输入正整数n(n≤2∗109),统计有多少对正整数a≤b,满足lcm(a,b)=n.输出n和形成的对数.

分析：n的因子不是很多，可以把所有因子求出来，暴力求解

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
#define mem(a,n) memset(a,n,sizeof(a))
#define pb(x) push_back(x)
typedef long long LL;
const int mod=1e6;
const double eps=1e-6;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=205;
vector<int>vec;
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n,cas=1;
    while(cin>>n,n)
    {
        vec.clear();
        for(int i=1; i*i<=n; i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                vec.pb(i);
                if(n/i!=i)
                    vec.pb(n/i);
            }
        }
        int cnt=vec.size(),ans=0;
        sort(vec.begin(),vec.end());
        int tmp;
        for(int i=0; i<cnt; i++)
        {
            for(int j=i; j<cnt; j++)
            {
                tmp=lcm(vec[i],vec[j]);
                if(tmp==n) ans++;
                //printf("ans=%d\n",ans);
            }
        }
        cout<<n<<" "<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

也可以把n写成唯一分解式，利用分解的因子来求
可参考：http://blog.youkuaiyun.com/The_useless/article/details/53817026
http://blog.youkuaiyun.com/synapse7/article/details/11380309

若将数拆分成唯一分解式,可以发现
- 设a=pk11∗pk22∗…∗pknnb=pk′11∗pk′22∗…∗pk′nn
则有gcd(a,b)=pmin(k1,k′1)1∗pmin(k2,k′2)2∗…∗pmin(kn,k′n)nlcm(a,b)=pmax(k1,k′1)1∗pmax(k2,k′2)2∗…∗pmax(kn,k′n)n
那么显然,对于a和b而言,对于n中存在的某一质因数pi则有max(ka,kb)=kn. 所以

当ka=kn时,0≤kb<kn,共计kn 当kb=kn时,0≤ka<kn,共计kn
则总共为kn∗2+1(+1的原因是还有ka=kb=kn) 当然最后的答案为ans/2+1(只取a≤b情况)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
#define mem(a,n) memset(a,n,sizeof(a))
#define pb(x) push_back(x)
typedef long long LL;
const int mod=1e6;
const double eps=1e-6;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=205;
vector<int>vec;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n,cas=1;
    while(cin>>n,n)
    {
        vec.clear();
        int ans=1,tmp=n;
        for(int i=2; i*i<=n; i++)
        {
            if(n%i==0)
            {
                int cnt=0;
                vec.pb(i);
                while(n%i==0)
                    cnt++,n/=i;
                ans*=(cnt*2+1);
            }
        }
        if(n>1) ans*=3;
        ans=ans/2+1;
        cout<<tmp<<" "<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}