leetcode 330. Patching Array

前言

看题目介绍云里雾里，想不到什么好的方法来解，看了AC解后豁然开朗，基础数学知识+分治法，首先分析出数学规律，然后就好解了。虽然被标记为hard，但本题并不是很高难度的类型，重要的是举一反三，学会解题思路。

题目描述

Given a sorted positive integer array nums and an integer n, add/patch elements to the array such that any number in range [1, n] inclusive can be formed by the sum of some elements in the array. Return the minimum number of patches required.

Example 1:
nums = [1, 3], n = 6
Return 1.

Combinations of nums are [1], [3], [1,3], which form possible sums of: 1, 3, 4.
Now if we add/patch 2 to nums, the combinations are: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3].
Possible sums are 1, 2, 3, 4, 5, 6, which now covers the range [1, 6].
So we only need 1 patch.

Example 2:
nums = [1, 5, 10], n = 20
Return 2.
The two patches can be [2, 4].

Example 3:
nums = [1, 2, 2], n = 5
Return 0.

解题思路

看完题目描述基本是一头雾水的。我们先分析要处理的问题，给定一个n和排序数组a，要求数组中的数的组合求和（数本身也认为是一种组合）能够包含[1,n]中的所有数。给定的数组不一定能够满足上述区间要求，现在问：最少向原数组中插入多少个数，使新数组能够满足[1,n]的范围要求？
我们注意到题目的输入：一个排序数组，一个表示范围的数n，我们先不考虑解法，先讨论满足情况的数组应该是怎样的排列。假设n = 1，我们知道，这时候满足情况的数组就是[1].n=2的情况显然是[1,2]，同样也满足n=3，n = 4时，满足的数组就是[1,2,4]。我们探讨一下是如何构造这个数组的，我们知道，假设数组满足[1,n]的取值范围，那么满足情况的最少个数的排序数组一定满足数组求和为n。

我们首先不考虑原数组的元素，而是思考如何构建这样一个满足情况的数组。假设当前数组可构成的取值范围为[1,m)(m为开区间），一个要思考的问题时，下一个要插入的数是多少时，能够使区间的扩张最大（目的是最终需要添加的数的个数最小）。显然这个数是m，我们知道，当前区间不包含m，若插入m，根据数组满足的特性（数组构成的取值区间），我们显然可以将区间扩展为[1,2m),即：在扩展数组时，区间关系总会是两倍的扩张。由此，一个满足情况的数组就可以构建出来了，这个基本序列就是[1,2,4,8,16….]也即是2的等比序列构成的数列。

上述讨论的是如何构建这样一个满足条件的数组序列，而现在的情况是，数组是给定的，但只是具备排序的特点。我们来思考给定数组与上述构造过程中的不同点，上述数组构造过程中，我们总是将范围扩展为原范围的两倍，我们知道，这样总可以使我们的新数组包含的区间最大化。在给定数组的情况下，我们仍假设数组的前一部分区间满足[1,m)的关系（分治法），我们假设数组的下一个元素为a[i]，现在a[i]有两种情况，a[i]>m或a[i]<=m。若a[i]>m,我们知道我们仍需要插入元素m，来扩张区间为[1,2m)，因为a[i]并不能够时我们的区间包含元素m。若a[i]< m,我们这时候需要做一个更新操作，因为虽然不能最大化区间，但是a[i]仍能够更新我们的最大区间为a[i]+m，而这个操作不需要插入新的数，至于为什么是a[i]+m，原因跟2m类似，这里就不再解释。下面是一个具体的例子来说明整个过程：
输入数组[1,2,4,15,25,40], n = 100;
我们知道[1,2,4] 对应的区间是[1,8)，而15>8,则插入8：
[1,2,4,8]-> [1,16) ,15<16,我们更新区间为[1,31) 这时数组为:
[1,2,4,8,15] ->[1,31), 25<31, 我们更新区间为[1,56) 数组为：
[1,2,4,8,15,25]->[1,56) 40<56,我们更新区间为[1,96)，数组为：
[1,2,4,8,15,25,40] ->[1,96),原数组结束而96<100，插入96：
[1,2,4,8,15,25,40,96]-> [1,192) 循环结束
我们插入的数为8，96 因此返回2。

代码实现

根据上述思路，我们写出更新区间的算法，这里使用long来防止int求和过程可能出现的溢出（思路与leetcode高票回答一致）：

class Solution {
public:
    int minPatches(vector<int>& nums, int n) {
        // 分治法的套路
        long miss = 1;
        int count = 0;
        int i = 0;
        while(miss<=n) {
            if(i<nums.size()&&nums[i]<=miss) {
                miss+=nums[i];
                i++;
            }else {
                // insert miss
                miss+=miss;
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
};