leetcode 52. N-Queens II & leetcode 51 N-Queens (N皇后问题）

leetcode 52. N-Queens II

N皇后问题可以说是一个经典问题了，这类问题网络上的解法有很多，这里主要介绍leetcode上的流行解法，主要思想是回溯法，具体如下。

题目描述

Follow up for N-Queens problem.

Now, instead outputting board configurations, return the total number of distinct solutions.

解题思路

解N皇后问题主要的思想，首先是把二维棋盘用一维数组表示，这样就自动完成了列条件的匹配，该位置上有元素则代表这一列有元素存在，我们按行遍历，在满足条件处放置皇后，然后回溯下一行。

对角线元素的处理：对角线包括两种方向，我们用两个数组来表示对角线处是否有元素存在。这里有一个trick，对于对角线上的元素，他们的行列和/差是相同的，因此我们直接根据行列和/差对数组进行标记，代表这一对角线有元素存在。

这样8皇后的三个条件就全部满足了，我们使用回溯法很容易可以写出题解。

代码实现

class Solution{
public:
int count = 0;
int totalNQueens(int num) {
    vector<bool> cols(num,false);
    vector<bool> diag1(num*2,false);
    vector<bool> diag2(num*2,false);
    backtrack(0,cols,diag1,diag2,num);
    return count;
}
void backtrack(int row,vector<bool>& cols,vector<bool>&diag1,vector<bool>& diag2,int num){
    if(row == num) count++;
    for(int i = 0;i<num;++i) {
        int d1 = i+row;
        int d2 = i-row+num;
        if(cols[i]||diag1[d1]||diag2[d2])
        // 已经被放置了皇后
            continue;
        cols[i] = true;
        diag1[d1] = true;
        diag2[d2] = true;
        backtrack(row+1,cols,diag1,diag2,num);
        cols[i] = false;
        diag1[d1] = false;
        diag2[d2] = false;
    }
}
};

leetcode 51. N-Queens

题目描述

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens’ placement, where ‘Q’ and ‘.’ both indicate a queen and an empty space respectively.

For example,
There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:

[
[“.Q..”, // Solution 1
“…Q”,
“Q…”,
“..Q.”],

[“..Q.”, // Solution 2
“Q…”,
“…Q”,
“.Q..”]
]

解题思路

leetcode 52 显然是leetcode 51的简化版本，但核心思想不变，都属于回溯法的应用问题。但本题要求出具体的棋盘分布，显然用一维数组无法求解。因此，我们换用二维数组来求解N皇后问题，同样的思路，我们以行为回溯基准，在每一行上每一列允许的位置放置皇后，回溯至最后一行即可得到最终解，回溯法的递归调用保证了算法的准确性。与上题不同的是，我们需要用二维数组的方式去判断该列/对角线是否存在皇后，而不能用简化的一维数组版本。

AC解

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        //backtrack 解n皇后
        vector<string> mQueens(n,string(n,'.'));
        vector<vector<string>> retVec;
        backtrack(mQueens,0,n,retVec);
        return retVec;
    }

    void backtrack(vector<string>& mQueens,int row,int n,vector<vector<string>>& retVec) {
        if(row == n) {
            retVec.push_back(mQueens);
            return;
        }
        for(int col = 0;col<n;++col) {

            if(!canPutQueens(col,row,mQueens,n)) continue;
            mQueens[row][col] = 'Q';
            backtrack(mQueens,row+1,n,retVec);
            mQueens[row][col] = '.';

        }
    } 
    bool canPutQueens(int col,int row,vector<string>& mQueens,int n) {
        // 当前列
        for(int r = 0;r!=row;r++)
            if(mQueens[r][col]=='Q') return false;
        // 45 和135
        // 先135
        for(int i = row-1,j = col-1;i>=0&&j>=0;--i,--j) {
            if(mQueens[i][j]=='Q') return false;
        }
        for(int i = row-1,j = col+1;i>=0&&j<n;--i,++j) {
            if(mQueens[i][j]=='Q') return false;
         }
        return true;
    }
};