第3篇：概率论就是算可能性——猜硬币的故事

🤔 什么是概率论？

概率论说白了就是算事情发生的可能性有多大。

你肯定玩过抛硬币吧？正面朝上还是反面朝上？概率论就是用数学方法来研究这类"猜结果"的问题。

🪙 从抛硬币开始

🎯 最简单的例子

​抛一次硬币​：

• 可能结果：正面、反面
• 每种结果的可能性：看起来相等
• 所以：P(正面) = 1/2，P(反面) = 1/2

​抛两次硬币​：
可能的结果：

• 正正、正反、反正、反反
• 每种结果的概率：1/4

💻 用Python模拟抛硬币

import random
import matplotlib.pyplot as plt

def flip_coin(n_flips):
    """模拟抛n次硬币"""
    results = []
    for _ in range(n_flips):
        # random.random() 产生0-1之间的随机数
        if random.random() < 0.5:
            results.append('正面')
        else:
            results.append('反面')
    return results

# 模拟抛100次硬币
flips = flip_coin(100)
heads_count = flips.count('正面')
tails_count = flips.count('反面')

print(f"抛了100次硬币")
print(f"正面出现: {heads_count}次 ({heads_count/100 * 100:.1f}%)")
print(f"反面出现: {tails_count}次 ({tails_count/100 * 100:.1f}%)")

你会发现，虽然理论上应该各50次，但实际结果可能略有偏差。抛的次数越多，结果越接近50%！

📊 概率的基本概念

1️⃣ 概率的取值范围

概率总是在 ​0到1之间​：

• P = 0：绝对不会发生
• P = 1：一定会发生
• P = 0.5：一半一半的机会

2️⃣ 期望值：长期的平均值

​例子：掷骰子​

• 可能结果：1, 2, 3, 4, 5, 6
• 每种结果的概率：1/6
• 期望值 = 1×(1/6) + 2×(1/6) + ... + 6×(1/6) = 3.5

虽然不是每次都能掷出3.5，但掷很多次后，平均值会接近3.5。

import numpy as np

def dice_experiment(n_rolls):
    """模拟掷骰子实验"""
    rolls = np.random.randint(1, 7, n_rolls)  # 产生1-6的随机整数
    average = np.mean(rolls)
    return rolls, average

# 实验：掷1000次骰子
rolls, avg = dice_experiment(1000)
print(f"掷了{len(rolls)}次骰子")
print(f"平均值: {avg:.2f} (理论值: 3.5)")
print(f"各个点数出现次数: {np.bincount(rolls)[1:]}")

🎲 重要的概率分布

正态分布：最常见的分布

正态分布就像一座钟形山：中间高，两边低，大部分数据集中在中间。

​生活中的例子​：

• 人的身高：大多数人中等身高，特别高和特别矮的人很少
• 考试成绩：大部分人考中等分数，学霸和学渣是少数
• 测量误差：多次测量同一个东西，结果通常呈正态分布

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# 生成正态分布数据：模拟成年男性身高（均值175cm，标准差10cm）
mean_height = 175
std_height = 10
heights = np.random.normal(mean_height, std_height, 10000)

print(f"生成的身高数据统计:")
print(f"平均身高: {np.mean(heights):.1f}cm")
print(f"标准差: {np.std(heights):.1f}cm")
print(f"170-180cm的人数: {np.sum((heights >= 170) & (heights <= 180))}")

# 理论上的概率
prob_170_180 = stats.norm.cdf(180, mean_height, std_height) - stats.norm.cdf(170, mean_height, std_height)
print(f"理论上170-180cm的比例: {prob_170_180:.3f}")

伯努利分布：非黑即白的分布

只有两种结果的情况，比如：

• 抛硬币：正面/反面
• 考试及格/不及格
• 用户点击广告/不点击

from scipy.stats import bernoulli

# 模拟用户点击广告的概率（假设10%的用户会点击）
p_click = 0.1
clicks = bernoulli.rvs(p_click, size=1000)  # 1000个用户

actual_click_rate = np.mean(clicks)
print(f"理论点击率: {p_click}")
print(f"实际点击率: {actual_click_rate:.3f}")
print(f"点击人数: {np.sum(clicks)}/{len(clicks)}")

🧠 条件概率和贝叶斯定理

🔍 条件概率：在特定条件下的概率

​例子：疾病检测​

• 某种疾病的发病率：1%
• 检测的准确率：99%（有病的人99%能检出，没病的人99%不会被误诊）

如果检测结果是阳性，真的患病的概率是多少？

直觉可能觉得是99%，但实际上要用贝叶斯定理计算：

def bayes_disease_detection():
    """贝叶斯定理计算疾病检测问题"""
    
    # 先验概率
    p_disease = 0.01      # 患病率1%
    p_no_disease = 0.99    # 没病的概率99%
    
    # 检测准确率
    p_positive_given_disease = 0.99    # 有病→阳性的概率
    p_negative_given_no_disease = 0.99 # 没病→阴性的概率
    p_positive_given_no_disease = 0.01  # 没病→阳性的概率（误诊）
    
    # 计算检测阳性的总概率
    p_positive = (p_disease * p_positive_given_disease + 
                  p_no_disease * p_positive_given_no_disease)
    
    # 贝叶斯定理：P(有病|阳性) = P(阳性|有病) × P(有病) / P(阳性)
    p_disease_given_positive = (p_positive_given_disease * p_disease) / p_positive
    
    return p_disease_given_positive

result = bayes_disease_detection()
print(f"检测阳性时真正患病的概率: {result:.3f} ({result*100:.1f}%)")

输出结果会让你惊讶：​只有约50%​​！

这就是为什么医学检测通常需要多次确认的原因。

🤖 为什么机器学习需要概率论？

1️⃣ 不确定性是现实世界的本质

机器学习要处理的很多问题都有不确定性：

• 垃圾邮件分类：不能100%确定某封邮件是垃圾邮件
• 推荐系统：不能100%确定你会喜欢某个商品
• 自动驾驶：不能100%确定前方没有障碍物

2️⃣ 概率让AI学会"谦虚"

# 朴素贝叶斯分类器示例（简化版）
class SimpleNaiveBayes:
    def __init__(self):
        self.class_probs = {}      # 各类别的概率
        self.feature_probs = {}    # 特征在各个类别下的概率
    
    def predict_probability(self, features):
        """预测属于某个类别的概率"""
        probabilities = {}
        
        for class_name, class_prob in self.class_probs.items():
            # 朴素贝叶斯假设：特征之间相互独立
            prob = class_prob
            for feature_name, feature_value in features.items():
                feature_prob = self.feature_probs[class_name].get(
                    (feature_name, feature_value), 0.001)  # 避免除零
                prob *= feature_prob
            probabilities[class_name] = prob
        
        # 归一化，使概率和为1
        total = sum(probabilities.values())
        for class_name in probabilities:
            probabilities[class_name] /= total
            
        return probabilities

# 使用示例：垃圾邮件分类
nb = SimpleNaiveBayes()

# 假设的训练数据告诉我们：
nb.class_probs = {'spam': 0.3, 'ham': 0.7}  # 30%垃圾邮件，70%正常邮件

nb.feature_probs = {
    'spam': {
        ('contains_money', True): 0.8,    # 垃圾邮件含"钱"字的概率80%
        ('contains_free', True): 0.9,     # 垃圾邮件含"免费"的概率90%
    },
    'ham': {
        ('contains_money', True): 0.1,     # 正常邮件含"钱"字的概率10%
        ('contains_free', True): 0.05,    # 正常邮件含"免费"的概率5%
    }
}

# 预测一封新邮件
new_email = {'contains_money': True, 'contains_free': True}
probabilities = nb.predict_probability(new_email)

print("新邮件的分类概率:")
for class_name, prob in probabilities.items():
    print(f"{class_name}: {prob:.3f} ({prob*100:.1f}%)")

看到了吗？AI不是简单地说"这是垃圾邮件"，而是给出概率，体现了知识的不确定性。

📝 本篇小结

1. ​概率是可能性大小的度量，范围0-1
2. ​期望值是长期平均值，帮助我们做预测
3. ​正态分布很常见，大部分自然现象都遵循它
4. ​贝叶斯定理帮我们在有新证据时更新信念
5. ​机器学习用概率来处理不确定性和做出谨慎的预测

🎯 练习题

1. 如果你连续抛3次硬币，恰好2次正面的概率是多少？（提示：列出所有可能结果）
2. 修改疾病检测的例子，如果患病率变成0.1%，检测阳性的人真正患病的概率是多少？
3. 想想生活中还有哪些现象可以用正态分布来描述？

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​下一篇预告：第4篇《线性回归——找一条最合适的直线》​​

我们将学习如何用一条直线来预测数值，这是机器学习中最基础也最重要的算法之一！