最小生成树学习

    MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，

    ①Prim算法 ②Kruskal算法

（一）Prim算法

【算法理解】

    它是从点的方面考虑构建一颗MST，大致思想是：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

用图示和代码说明：

设置2个数据结构：

lowcost[i]:表示以i为终点的边最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边最小权值=0,也就是表示i点加入了MST

mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边<mst[i],i>是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i加入MST

我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）

明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST

此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST

此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST

此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST

此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，MST构建成功，如图所示：

【算法模板】

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=30;
const int INF=1000000;
int graph[maxn][maxn];
int lowcost[maxn],closet[maxn];/*lowcost表示每个点的最小花费;closet表示最小花费对应相连的点*/
int visited[maxn];/*visited区分两个集合*/
int n;/*n个点*/

void createGraph(){
    memset(graph,0,sizeof(graph));
    memset(lowcost,0,sizeof(lowcost));
    memset(closet,0,sizeof(closet));
    memset(visited,0,sizeof(visited));
    int a;
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++){
        scanf("%d",&a);
        if(a==0)
            graph[i][j]=graph[j][i]=INF;
        else
            graph[i][j]=graph[j][i]=a;
    }
}

void prim(){
    int sum=0;
    visited[0]=1;/*选中第一个点*/
    for(int i=0;i<n;i++){
        lowcost[i]=graph[i][0];/*每个点与第一个点的权值*/
        closet[i]=0;/*与i点相连的是第一个点*/
    }
    for(int i=1;i<n;i++){  /*剩下n-1个点*/
        int minn=lowcost[0],k=0;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(!visited[j] && lowcost[j]<minn){
                minn=lowcost[j];
                k=j;
            }
        }
        sum+=minn;
        visited[k]=1;
        for(int t=0;t<n;t++){  /*松弛操作*/
            if(!visited[t] && lowcost[t]>graph[t][k]){
                lowcost[t]=graph[t][k];
                closet[t]=k;
            }
       }
    }
    printf("%d\n",sum);
}

int main()
{
   // freopen("input.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n)){
        if(!n) break;
        createGraph();
        prim();
    }
}

（二）Kruskal算法

【算法理解】

    kruskal算法的精髓在于：每次选取一条边。

    该边同时满足：1、在当前未选边中权值最小；2、与已选边不构成回路。

    直到选取n-1条表是算法结束。找到MST活判断不存在MST。

 【代码设计】

    1、利用优先级队列将权值小的边放到队列最前，优先出对，保证了每次选择的都是权值最小的边。

    2、利用并查集的查找及结合把同处同一连通分量中的顶点连到同一父节点下。这样，每次判断是否构成回路，只要判断父节点是否相同的即可。

【算法模板】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,cnt=0;
struct edge{
    int fr,to,w,nxt;
    bool operator < (const edge &a) const {
        return w<a.w;
    }
}e[200001];
int pre[N],head[N];

void add(int fr,int to,int w){
    e[cnt].fr=fr;
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].nxt=head[fr];
    head[fr]=cnt++;
}

int find(int x){
    if(x==pre[x]) return x;
    return pre[x]=find(pre[x]);
}

void Kruskal(){
    for(int i=1;i<=n;++i) pre[i]=i;
    sort(e,e+cnt);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<cnt;++i){
        int u=find(e[i].fr);
        int v=find(e[i].to);
        if(u!=v){
            ans+=e[i].w;
            pre[u]=v;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    int a,b,c;
    while(scanf("%d",&n)&&n){
        cnt=0;
        int m=n*(n-1)/2;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        while(m--){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            add(a,b,c);
            add(b,a,c);
        }
        Kruskal();
    }
    return 0;
}