动态规划DP 背包问题有依赖的背包问题（模型分析+C++完整代码）-优快云博客

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有依赖的背包问题

原题链接

题目描述

有 N 个物品和一个容量是 V 的背包。
物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。
如下图所示：
QQ图片20181018170337.png

如果选择物品5，则必须选择物品1和2。这是因为2是5的父节点，1是2的父节点。
每件物品的编号是 i，体积是 vi，价值是 wi，依赖的父节点编号是 pi。物品的下标范围是 1…N。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品个数和背包容量。
接下来有 N 行数据，每行数据表示一个物品。第 i 行有三个整数 vi,wi,pi，用空格隔开，分别表示物品的体积、价值和依赖的物品编号。如果 pi=−1，表示根节点。数据保证所有物品构成一棵树。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
1≤N,V≤100
1≤vi,wi≤100
父节点编号范围：
内部结点：1≤pi≤N;
根节点 pi=−1;

输入样例

输出样例：

题目分析

要点：状态表示

$f [i] [j]$ 表示以 $i$ 为根的树中的所有结点体积不超过 $j$ 的所有选法。

闫氏DP分析法

在这里插入图片描述

要点：状态计算

在以 $i$ 为根的树中，将其子结点对应子树看作一组组物品，也就是对于k个子树，即k组物品，此时转化为分组背包问题。对于每组内的物品，按照体积进行划分。

要点：分组背包问题

分组背包问题模型详解

要点：树的存储

采用邻接表存储，用数组进行模拟。
h数组是邻接表的表头，其下标为当前节点值，h的值是当前结点第一条边的编号（最后加入的那一条边）；
e数组是边的集合，其下标为当前边的编号，数值是当前边的终点；
ne数组存储下一条边，如果ne的为-1表示当前结点没有下一条边，ne的下标是当前边的编号，数值是当前结点的下一条边的编号；
idx用于边的编号。

完整代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int n,m;
int f[N][N];
int h[N],ne[N],e[N],idx;  //邻接表存储图
int v[N],w[N];

//邻接表加边
void add(int a,int b){
    ne[idx]=h[a];
    e[idx]=b;
    h[a]=idx++;
}
//递归
void dfs(int u){
    //分组背包
    //遍历当前结点u的子结点；遍历各组
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
        //子节点为son
        int son=e[i];
        dfs(son);  //递归遍历
        //遍历体积
        for(int j=m-v[u];j>=0;j--){  //根结点是必选的，所以体积中一定由v[u]
            //遍历组内体积
            for(int k=0;k<=j;k++){
                f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[son][k]);
            }
        }
    }
    //将根结点的值w[u]加上
    for(int i=m;i>=v[u];i--) f[u][i]=f[u][i-v[u]]+w[u];
    //计算背包体积小于v[u]时，此时的背包放不进该根结点，值为0
    for(int i=0;i<v[u];i++) f[u][i]=0;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    int root;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int p;
        cin>>v[i]>>w[i]>>p;
        if(p==-1) root=i;
        else{
            add(p,i);
        }
    }
    dfs(root);
    cout<<f[root][m]<<endl;
    return 0;
}