动态规划DP 背包问题 机器分配（分组背包问题+背包问题求具体方案）（题目详解+C++完整代码）

概览检索
动态规划DP 概览（点击链接跳转）
动态规划DP 背包问题 概览（点击链接跳转）

机器分配

原题链接

AcWiing 1013. 机器分配

题目描述

总公司拥有 M台 相同的高效设备，准备分给下属的 N个分公司。
各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。盈利与分配的设备数量有关。

问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？
求出最大盈利值。

分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数 M。

输入格式
第一行有两个数，第一个数是分公司数 N，第二个数是设备台数 M；
接下来是一个 N×M的矩阵，矩阵中的第 i行第 j列的整数表示第 i个公司分配 j台机器时的盈利。

输出格式
第一行输出最大盈利值；
接下 N行，每行有 2个数，即分公司编号和该分公司获得设备台数。
答案不唯一，输出任意合法方案即可。

数据范围
1≤N≤10,
1≤M≤15

输入样例：

3 3
30 40 50
20 30 50
20 25 30

输出样例：

70
1 1
2 1
3 1

题目分析

n个分公司：n组物品
每个分公司可分走0，1，2，···，n个设备（只能为一种情况）：每组物品内包含物品1且体积为1，物品2且体积为2，···，物品n且体积为n（且只能选一个）
每个分公司分走设备数对应盈利：每组包含的各类物品的不同价值
设备总数m：背包体积m

经过分析可知，该题为 分组背包问题 。

分组背包模型

分组背包问题模型详解（点击链接跳转）

背包问题求具体方案

该题不仅要求出最大利润，还要求输出最大利润下的一种具体分配方案。
经过动态规划的计算，我们知道f[n][m]存储的即为最大利润。

我们采用倒推的方案，从f[n][m]出发，
遍历第n组中的所有物品，判断是否选择了该组内的某个物品，即判断 f[n][m]是否等于f[n-1][m-v[n,i]]+w[n,i]，若相等则说明该选择方案中包含第n组的第i个物品。反之，不包含。
···
由此递推判断每组的每个物品。

完整代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=11,M=16;
int n,m;
int f[N][M];
int w[N][M];
int way[N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    //遍历组数
    for(int i=1;i<=n;i++){
        //遍历体积
        for(int j=0;j<=m;j++){
            //遍历组内物品
            for(int k=0;k<=j;k++){
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k]+w[i][k]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    
    //逆序递归得到方案
    int j=m;  //从f[n][m]出发
    //遍历每组
    for(int i=n;i>0;i--){
        //遍历组内物品
        for(int k=0;k<=j;k++){
            if(f[i][j]==f[i-1][j-k]+w[i][k]){
                way[i]=k;  //记录路径，即具体方案
                j-=k;  //体积减去已选择物品所占体积
                break;  //找到该组内的物品，跳出该组物品的循环
            }
        }
    }
    //输出具体方案
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<i<<" "<<way[i]<<endl;
    return 0;
}