网格处理：Laplace算子

网格处理：Laplace

参考：
https://blog.youkuaiyun.com/hjimce/article/details/46505863
https://blog.youkuaiyun.com/hjimce/article/details/46415239

laplace算子在网格平滑，remesh，网格编辑中都有应用。它全局线性的特点。

什么是laplace算子

参考：https://blog.youkuaiyun.com/hjimce/article/details/46415239
laplace算子是梯度的散度
在离散的情况下：
laplace算子的计算如下：

由于

$$\sum w_{ij}=1$$
$$v_i=\sum w_{ij}\ast vi$$
$$L(v_i)=\sum w_{ij}(v_i-v_j)$$

laplace算子的几何意义

了解了laplace算子的计算公式，可以得到laplace算子的几何意义：

即：$\delta$是$v_i$到周围所有$v_j$根据权重$w_{ij}$计算得到的$v_i^{\prime }$的向量。

这个向量$\delta$被称为$v_i$的微分坐标了，计算微分坐标的意义在于，Laplace形变认为这个微分坐标能够记录或者说表示模型的局部细节信息，比如鼻子，嘴巴，凸起，凹陷这样的信息，当模型形变后，我们希望模型的局部信息不要被破坏，那么换成坐标的说法就是，模型上点的世界坐标变了，但是我们希望模型上所有点的微分坐标没变，也就是点和点的相对位置关系没变。

laplace算子-网格平顺

论文：Laplacian Mesh Optimization


当网格曲面上任意顶点的局部片中包含的所有三角面片都为等腰三角形时，该顶点的同一Laplacian 坐标和余切Laplacian 坐标相等。当将上述结论由某一个三角面片扩展到整个模型表面时可以发现：如果所有的三角面片都接近于正三角形，所有顶点的同一（均匀）Laplacian 坐标和余切Laplacian 坐标接近相等。

算法原理主要是：

1、通过先求解网格曲面余切权计算得到的Laplacian 坐标δ

2、构建均匀权下的拉普拉斯矩阵A

3、然后求解AX=δ.

laplace算子-网格去噪

均匀权下的拉普拉斯就是网格平滑

laplace算子-网格编辑

论文：Laplacian mesh optimization
参考
https://blog.youkuaiyun.com/bob__yuan/article/details/81778875