一维高斯分布

高斯模糊是数字图像模板处理法的一种。其模板是根据二维正态分布（高斯分布）函数计算出来的。 

        正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。故名高斯模糊。

高斯滤波实际上是一种低通滤波器，也就是说，低波通过，高波滤去。对于图像来讲，就是在低频的部分通过，对于高频的地方滤去。对图像的边缘等细节部分进行模糊，这是由高斯模糊的公式的性质决定的。这点，经常在数字图像处理中利用，以在图像仿真图像重打样等领域进行利用。

        一维正态分布的函数定义：

σ是标准差，在这里又叫做高斯半径。σ2表示的意思就是方差。f(x)是概率，μ是均值，即期望。即这个公式表示的意思在μ附近的概率。离μ越近，即σ越小，其概率越大；离μ越远，即σ越大，其概率越小。σ的取值范围是[0.1~250]。

型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 遵从正态分布的随机变量的概率规律为取  μ邻近的值的概率大  ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低  ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

        两个常数的意义：μ-期望，σ^2 方差。

        下面我们解决第一个疑问：高斯模糊滤镜中的半径是什么？答案是高斯半径就是公式中的σ。

        高斯曲线的图形和半径的含义如下图（来自Adobe SDK中技术支持专家的文档）所示：

可见高斯半径（σ）对曲线形状的影响，σ越小，曲线越高越尖，σ越大，曲线越低越平缓。对二维图像来说，是一个钟形曲面，高斯半径越小，曲面越高越尖越陡峭；高斯半径越大，曲面越低越平缓。因此高斯半径越小，则模糊越小，高斯半径越大，则模糊程度越大。我们将看到ps对高斯半径的范围定义是【0.1~250】。当半径为0.1时，高斯模板在计算后只有中间像素为1，其他像素均=0（实际上只是趋近0），即图像不会有变化。

         第二个疑问，高斯模板大小和高斯半径的关系？这是一个一直困扰我们的误解。因为我们的思维进入了物理实现的误区。在物理实现中，高斯模板有界，从而使我们忽略了这个问题的真正答案：高斯模板在逻辑上是无边界的。也就是说高斯模板本质上是逻辑上无穷拓展曲面的一个近似。因此，模板大小我们应该认为它是无穷大的。只不过在计算的时候，因为在远处趋近0，因此在某个阈值之下我们不再考虑这些值，这个阈值就是模板边界。