C++判断最小生成树是否唯一算法

本文探讨如何判断无向图的最小生成树是否唯一。通过首先计算一个最小生成树,然后逐个删除边并重新计算,比较结果来确定唯一性。这种方法可以用来检查最小生成树的唯一性。

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1、最小生成树是否唯一算法

        给定一无向图,判断最小生成树是否唯一。

2、思路

       先求出最小生成树,记录结果,依次删除树中各边,再求最小生成树,看与最初结果是否相同,若相同则不唯一。

3、代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 109;
const int MAX = 100000000;
int d[N];
int g[N][N];
int fa[N];
pair<int, int> v[N];

int prim(int n, int m, bool f)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        d[i] = g[0][i];
        fa[i] = 0;
    }
    d[0] = -1;
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int min = MAX, mini = -1;

        for(int 
### 关于最小生成树唯一性的理论知识 #### 最小生成树定义及其性质 对于带权无向连通图 \( G=(V,E) \),\( G \) 的所有生成树当中边的权值之和最小的生成树称为 \( G \) 的最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)。需要注意的是,最小生成树一定唯一;也就是说,可能存在多棵同的最小生成树具有相同的总权重[^2]。 #### 最小生成树唯一性条件 如果带权无向连通图中的每条边都拥有独一无二的权重,则该图存在唯一最小生成树。这是因为,在构建过程中每次选取当前未加入到生成树集合中且权重最低的一条边时,由于存在两条相同权重的候选边可供选择,因此最终形成的最小生成树结构必然固定变。 另外一种情况是当给定图形恰好含有 \( |V|-1 \) 条边的时候,此时也只有一种方式形成一棵连接全部顶点而构成回路的子图,即为唯一最小生成树。 #### 非唯一情况下证明思路概述 假设在一个加权无向图中有两颗同形态但同样满足最小代价要求的生成树 T1 和 T2 。那么在这两个解之间必定至少有一条公共路径 P ,因为它们都是覆盖整个顶点集 V 的连通组件。考虑沿着这条共享路径逐步替换非共有的部分直到两者完全一致为止: - 如果在整个转换过程里始终保持着新的中间状态仍然是合法的生成树,并且保持了原有的最优成本特性; - 或者能够找到某个时刻违反上述任一前提,则可以得出结论说原假设有误——实际上并存在两种独立又同等优秀的解决方案。 然而值得注意的是,以上讨论仅适用于理想状况下的理论分析框架内有效。实际应用环境中可能会遇到更多复杂因素影响具体实例的表现形式。 ```python def is_unique_mst(graph): """ 判断一个有权重的无向连通图是否存在唯一最小生成树 参数: graph (dict): 图的数据结构表示 {node: [(adjacent_node, weight)]} 返回: bool: 是否唯一MST """ # 获取所有的边以及对应的权重 edges = [] for u in graph: for v, w in graph[u]: if u < v: # 只记录一次双向边 edges.append((w, u, v)) sorted_edges = sorted(edges) unique_weights = all(sorted_edges[i][0]!=sorted_edges[i+1][0] for i in range(len(sorted_edges)-1)) num_vertices = len(graph) exact_num_of_edges = len(edges)==num_vertices-1 return unique_weights or exact_num_of_edges ```
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