19、二维有限元分析：基础与应用

二维有限元分析：基础与应用

1. 线性三角形单元

1.1 原始域中的形函数

考虑一个线性三角形单元，未知函数在每个单元内可近似表示为：
[u^e(x, y) = \sum_{j = 1}^{3} u_j^e N_j^e(x, y)]
利用帕斯卡三角形，未知函数可写成线性形式：
[u^e(x, y) = c_1^e + c_2^e x + c_3^e y]
将其在节点坐标处求值，得到矩阵方程：
[\begin{bmatrix}u_1^e\u_2^e\u_3^e\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & x_1^e & y_1^e\1 & x_2^e & y_2^e\1 & x_3^e & y_3^e\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1^e\c_2^e\c_3^e\end{bmatrix}]
记该矩阵为 (X^e)，其行列式为：
[|X^e| = x_1^e(y_2^e - y_3^e) - x_2^e(y_1^e - y_3^e) + x_3^e(y_1^e - y_2^e)]
求解矩阵方程得到常数 (c_j^e)，代入并与近似式比较，可得形函数：
[N_1^e(x, y) = \frac{1}{|X^e|} [x_2^e y_3^e - x_3^e y_2^e + (y_2^e - y_3^e)x + (x_3^e - x_2^e)y]]
[N_2^e(x, y) = \frac{1}{|X^e|} [x_3^e y_1^e - x_1^e y_3^e + (y_3^e - y_1^e)x + (