n!阶乘后面有多少个零

题目：计算n!中结尾零的个数(C++实现) 。

 

当时一看到这道题目便有了思路，很快就写出了代码。我写的代码如下：

 

[cpp] view plain copy

1. #include <stdio.h>  
2.   
3. /*计算n!结尾零的个数，返回零的个数。*/  
4. int CalZeroNum(int n)  
5. {  
6.     int result=1;  
7.     int num=0;  
8.   
9.     /*计算n的阶乘，结果保存在result中。*/  
10.     int i;  
11.     for(i=n;i>=1;i--)  
12.            result*=i;  
13.   
14.     /*计算result结尾零的个数*/  
15.     while(1)  
16.     {  
17.         if(result%10==0)  
18.         {  
19.             result/=10;  
20.             num++;  
21.         }  
22.         else   
23.             break;  
24.     }  
25.     return num;//返回零的个数。  
26. }  
27.   
28. void main()  
29. {  
30.     printf("10!结尾零的个数为:%d/n",CalZeroNum(10));  
31. }  

 

      面试官看了我的代码之后有些不满意，因为这种算法存在很大问题——如果n!很大时（大于32767时），int result就无法保存n!的值，程序就无法正确执行。此外，由于需要进行多次累加和累乘运算，程序的效率也是非常低的。回到宿舍后我参考了网上大牛们的算法，最后总结了几个更好的算法解决这个问题。

 

算法思想：在1-10两个数相乘要产生0，只有 10×1=2×5，2×5。

  200！=200×199×198……×2×1=2×5×2×5×2×199…. ×2×1;可以分解为质数相乘的形式,很明显有2的个数比5的多,所以只要求出200的阶乘可分解出多少个5相乘,就可得到200的阶乘结尾的连续的零的个数.

即:num=[200/5]+[200/5/5]+[200/5/5/5].

注: [x]表示对x取整.

所以可以通过这个思路很容易的得到任意阶乘结尾连续的零，其示例C语言代码如下：

[cpp] view plain copy

1. #include <stdio.h>  
2.   
3. /*计算n!结尾零的个数，返回结尾零的个数。*/  
4. int CalZeroNum(int n)  
5. {  
6.     int num=0;//n!结尾零的个数  
7.     int b=1;//5的次方  
8.     while(1)  
9.     {  
10.         b*=5;  
11.         num+=n/b;  
12.         if(b>n)  
13.             break;  
14.     }  
15.     return num;//返回结尾零的个数  
16. }  
17.   
18. void main()  
19. {  
20.     printf("20!结尾零的个数为:%d/n",CalZeroNum(20));  
21. } 
    

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上述代码怎么理解呢？他的思路是，给定n，那么先算能被5整除的数字有多少个。方法是计算n/5=a1，比如20/5=4,说明有4个被5整除的数字（5，10，15，20），然后计算n/25，统计一下被25整除的数字有多少个。。方法是n/25=a2，由于他是25啊，有两个5，所以要算两次。。。等等，被25整除的数字肯定被5整除，所以之前计算n/5的时候已经算过一次了。计算公式是N=a1 + a2*2-a2+a3*3-a3-a3...=a1+a2+a3+...就这样啦。给定n，需要循环[log5(n)+1]次，所以算法的复杂度是O(log n)的。