关于全排列组合算法

全排列是将一组数按一定顺序进行排列，如果这组数有n个，那么全排列数为n!个。现以{1, 2, 3, 4, 5}为

例说明如何编写全排列的递归算法。



1、首先看最后两个数4, 5。 它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。

由于一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。

2、再看后三个数3, 4, 5。它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六组数。

即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合.

从而可以推断，设一组数p = {r1, r2, r3, ... ,rn}, 全排列为perm(p)，pn = p - {rn}。

因此perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), ... , rnperm(pn)。当n = 1时perm(p} = r1。

为了更容易理解，将整组数中的所有的数分别与第一个数交换，这样就总是在处理后n-1个数的全排列。



算法如下：

#include  < stdio.h >   

int  n  =   0 ;  

void  swap( int   * a,  int   * b) 
{     
     int  m;     
    m  =   * a;     
     * a  =   * b;     
     * b  =  m; 
}  
void  perm( int  list[],  int  k,  int  m) 
{     
     int  i;     
     if (k  >  m)     
    {          
         for (i  =   0 ; i  <=  m; i ++ )             
            printf( " %d  " , list[i]);         
        printf( " /n " );         
        n ++ ;     
    }     
     else      
    {         
         for (i  =  k; i  <=  m; i ++ )         
        {             
            swap( & list[k],  & list[i]);             
            perm(list, k  +   1 , m);             
            swap( & list[k],  & list[i]);         
        }     
    } 
} 
int  main() 
{     
     int  list[]  =  { 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 };     
    perm(list,  0 ,  4 );     
    printf( " total:%d/n " , n);     
     return   0 ; 
} 

 

全排列算法的递归与非递归实现.出于语言特性问题,运行效率较低.

< script language = " JavaScript " >
<!--
// 全排列递归算法
// code by meixx(梅雪香)
/**/ /*
递归的算法采用分而治之的思想 
考虑序列 P1P2P3Pn 可以分解为 P1 + C(P2P3Pn),依此类推.
*/
function  combination(arr) {
     var  len  =  arr.length;
     if (len  ==   2 ) {
         var  a  =  arr[ 0 ], b  =  arr[ 1 ];
         return  [a + b,b + a];
    }
     else   if (len  ==   1 )   return  arr;
     else {
         var  strRtn  =   "" ;
         for ( var  i = 0 ;i < len;i ++ ) {
            strRtn  +=  merge(arr[i],combination(arr.slice( 0 ,i).concat(arr.slice(i + 1 ,len)))).join( " , " ) + " , " ;
        }
         return  strRtn.replace( / /,$ / , "" ).split( " , " );
    }
}
function  merge(head,arr) {
     for ( var  i = 0 ;i < arr.length;i ++ )
        arr[i]  =  head  +  arr[i];
     return  arr;
}
/**/ /*
var ar = combination("54321".split(""));
for(var i=0;i<ar.length;i++)
    document.write(ar[i].join(""),"<br>");
*/
// -->
</ script >
< script language = " JavaScript " >
<!--
// 全排列非递归算法
// code by meixx(梅雪香)
/**/ /*
非递归全排列算法的基本思想是:
    1.找到所有排列中最小的一个排列P.
    2.找到刚刚好比P大比其它都小的排列Q,
    3.循环执行第二步,直到找到一个最大的排列,算法结束.
下面用数学的方法描述:
给定已知序列 P =  A1A2A3An ( Ai!=Aj , (1<=i<=n  , 1<=j<=n, i != j  ) )
找到P的一个最小排列Pmin = P1P2P3Pn  有  Pi > P(i-1) (1 < i <= n)
从Pmin开始,总是目前得到的最大的排列为输入,得到下一个排列.
方法为:
1.从低位到高位（从后向前），找出“不符合趋势”的数字。即找到一个Pi，使Pi < P(i+1)。
  若找不到这样的pi，说明我们已经找到最后一个全排列，可以返回了。
2.在 P(i+1)P(i+2)Pn 中,找到一个Pj,便得 Pj"刚刚好大于"Pi. 
  ("刚刚好大于"的意思是:在 P(i+1)P(i+2)Pn 中所有大于Pi的元素构成的集合中最小的元素.)
3.交换 Pi , Pj 的位置.注意:此处不改变i和j的值,改变的是Pi和Pj.
4.交换后， P1P2P3Pn  并不是准确的后一个排列。因为根据第1步的查找，我们有P(i+1) > P(i+2) > . > Pn
  即使进行了Pi和Pj的交换,这仍然是这一部分最大的一个排列。将此排列逆序倒置(变成最小的排列)即为所求的下一个排列.
5.重复步骤1-4,直到步骤1中找不到“不符合趋势”的数字.
*/
// 参数arr:待进行全排列的数组(没有重复的元素)
function  Combin(arr) {
     var  arResult  =  [];
     var  ar  =  arr.sort();
    arResult.push(ar);
     for (;;) {
        ar  =  FindNext(arResult[ 0 ],ar);
         if ( ! ar)  return  arResult;
        arResult.push(ar);
    }
}
function  FindNext(arFirst,arLast) {
     for ( var  i = arLast.length - 1 ;i > 0 ;i -- ) {
         if (arLast[i - 1 ]  <  arLast[i]) {  // 找到了"不符合趋势"的数字
             var  ar  =  arLast.slice();
             var  strTail  =  ar.slice(i).join( "" );
             var  tmpStr  =  arFirst.join( "" );
             var  strSearch  =  tmpStr.substr( tmpStr.indexOf(ar[i - 1 ])  +   1  );
             // 确定ar[i-1]要交换的字符及该字符的位置
             for ( var  j = 0 ,k = strSearch.length;j < k;j ++ ) {
                 var  ch  =  strSearch.charAt(j);
                 var  idx  =  strTail.indexOf(ch);
                 if ( idx  >=   0  )  break ;
            }
            ar[i  +  idx]  =  ar[i - 1 ];
            ar[i - 1 ]  =  ch;
             return  ar.slice( 0 ,i).concat(ar.slice(i).reverse());
        }
    }
     return   null ;  // 找不到"不符合趋势"的数字,说明所有的排列已经找到
}
/**/ /*
var ar = Combin("f4e3r21".split(""));
for(var i=0;i<ar.length;i++)
    document.write(ar[i].join(""),"<br>");
*/
// -->
</ script >

 

 

 尽管排列组合是生活中经常遇到的问题，可在程序设计时，不深入思考或者经验不足都让人无从下手。由于排列组合问题总是先取组合再排列，并且单纯的排列问题相对简单，所以本文仅对组合问题的实现进行详细讨论。以在n个数中选取m(0<m<=n)个数为例，问题可分解为：
1. 首先从n个数中选取编号最大的数，然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数，直到从n-(m-1)个数中选取1个数为止。
2. 从n个数中选取编号次小的一个数，继续执行1步，直到当前可选编号最大的数为m。
很明显，上述方法是一个递归的过程，也就是说用递归的方法可以很干净利索地求得所有组合。
下面是递归方法的实现：
/// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
/// a[1..n]表示候选集，n为候选集大小，n>=m>0。
/// b[1..M]用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标)，
/// 常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数，M=m，这两个参数仅用来输出结果。
void combine( int a[], int n, int m,  int b[], const int M )
{
 for(int i=n; i>=m; i--)   // 注意这里的循环范围
 {
  b[m-1] = i - 1;
  if (m > 1)
   combine(a,i-1,m-1,b,M);
  else                     // m == 1, 输出一个组合
  {  
   for(int j=M-1; j>=0; j--)
    cout << a[b[j]] << " ";
   cout << endl;
  }
 }
}

因为递归程序均可以通过引入栈，用回溯转化为相应的非递归程序，所以组合问题又可以用回溯的方法来解决。为了便于理解，我们可以把组合问题化归为图的路径遍历问题，在n个数中选取m个数的所有组合，相当于在一个这样的图中（下面以从1,2,3,4中任选3个数为例说明）求从[1,1]位置出发到达[m,x](m<=x<=n)位置的所有路径：
1  2  3  4
    2  3  4
        3  4
上图是截取n×n右上对角矩阵的前m行构成，如果把矩矩中的每个元素看作图中的一个节点，我们要求的所有组合就相当于从第一行的第一列元素[1,1]出发，到第三行的任意一列元素作为结束的所有路径，规定只有相邻行之间的节点，并且下一行的节点必须处于上一行节点右面才有路径相连，其他情况都无路径相通。显然，任一路径经过的数字序列就对应一个符合要求的组合。
下面是非递归的回溯方法的实现：
/// 求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
/// a[1..n]表示候选集，m表示一个组合的元素个数。
/// 返回所有组合的总数。
int combine(int a[], int n, int m)
{  
 m = m > n ? n : m;

 int* order = new int[m+1];   
 for(int i=0; i<=m; i++)
  order[i] = i-1;            // 注意这里order[0]=-1用来作为循环判断标识
 
 int count = 0;                               
 int k = m;
 bool flag = true;           // 标志找到一个有效组合
 while(order[0] == -1)
 {
  if(flag)                   // 输出符合要求的组合
  {  
   for(i=1; i<=m; i++)                   
    cout << a[order[i]] << " ";
   cout << endl;
   count++;
   flag = false;
  }

  order[k]++;                // 在当前位置选择新的数字
  if(order[k] == n)          // 当前位置已无数字可选，回溯
  {
   order[k--] = 0;
   continue;
  }    
 
  if(k < m)                  // 更新当前位置的下一位置的数字         
  {
   order[++k] = order[k-1];
   continue;
  }
 
  if(k == m)
   flag = true;
 }

 delete[] order;
 return count;
}

下面是测试以上函数的程序：
int main()
{
 const int N = 4;
 const int M = 3;
 int a[N];
 for(int i=0;i<N;i++)
  a[i] = i+1;

 // 回溯方法
 cout << combine(a,N,3) << endl;

 // 递归方法
 int b[M];
 combine(a,N,M,b,M);

 return 0;
}

由上述分析可知，解决组合问题的通用算法不外乎递归和回溯两种。在针对具体问题的时候，因为递归程序在递归层数上的限制，对于大型组合问题而言，递归不是一个好的选择，这种情况下只能采取回溯的方法来解决。

    n个数的全排列问题相对简单，可以通过交换位置按序枚举来实现。STL提供了求某个序列下一个排列的算法next_permutation，其算法原理如下：
1. 从当前序列最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令前面一个元素为*i，后一个元素为*ii，且满足*i<*ii；
2. 再次从当前序列末端开始向前扫描，找出第一个大于*i的元素，令为*j（j可能等于ii），将i，j元素对调；
3. 将ii之后（含ii）的所有元素颠倒次序，这样所得的排列即为当前序列的下一个排列。
其实现代码如下：
template <class BidirectionalIterator>
bool next_permutation(BidirectionalIterator first, BidirectionalIterator last)
{
  if (first == last) return false;   // 空範圍
  BidirectionalIterator i = first;
  ++i;
  if (i == last) return false;       // 只有一個元素
  i = last;                          // i 指向尾端
  --i;

 for(;;)
 {
  BidirectionalIterator ii = i;
  --i;
  // 以上，鎖定一組（兩個）相鄰元素
  if (*i < *ii)                     // 如果前一個元素小於後一個元素
  {
   BidirectionalIterator j = last;  // 令 j指向尾端
   while (!(*i < *--j));            // 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素
   iter_swap(i, j);                 // 交換 i, j
   reverse(ii, last);               // 將 ii 之後的元素全部逆向重排
   return true;
  }
  if (i == first)                   // 進行至最前面了
  {
   reverse(first, last);            // 全部逆向重排
   return false;
  }
 }
}

下面程序演示了利用next_permutation来求取某个序列全排列的方法：
int main()
{
 int ia[] = {1,2,3,4};
 vector<int> iv(ia,ia+sizeof(ia)/sizeof(int));

 copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator<int>(cout," "));
 cout << endl;
 while(next_permutation(iv.begin(),iv.end()))
 {
  copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator<int>(cout," "));
  cout << endl;
 }

 return 0;
}
注意：上面程序中初始序列是按数值的从小到大的顺序排列的，如果初始序列无序的话，上面程序只能求出从当前序列开始的后续部分排列，也就是说next_permutation求出的排列是按排列从小到大的顺序进行的。

 

 

组合算法
本程序的思路是开一个数组，其下标表示1到m个数，数组元素的值为1表示其下标
代表的数被选中，为0则没选中。
首先初始化，将数组前n个元素置1，表示第一个组合为前n个数。
然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为
“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。
当第一个“1”移动到数组的m-n的位置，即n个“1”全部移动到最右端时，就得
到了最后一个组合。