【BZOJ4422】Cow Confinement【扫描线】【差分】【线段树】

最新推荐文章于 2023-10-29 16:40:25 发布

原创

最新推荐文章于 2023-10-29 16:40:25 发布 · 590 阅读

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#扫描线 #差分

这篇博客介绍了BZOJ4422题目的解题思路，主要涉及扫描线算法和差分优化。作者首先阐述了题目的背景和暴力解法，然后详细讲解了如何通过差分优化将时间复杂度降低，利用线段树维护单点修改、区间复制、区间求和以及标记处理，从而解决牛和花之间的可达性问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

一个 $10^6$ 行 $10^6$ 列的网格图，上面有一些牛、花和一些矩形围栏，围栏在格子的边界上，牛和花在格子里，牛只能向下或向右走，不能穿过围栏和地图边界，求每头牛它能到达的花的数量。（栅栏不会相交）

题解

暴力

首先，可以想出一个很显然的dp，设 $dp_{i,j}$ 表示方格 $(i, j)$ 能到达的花数。要分类讨论，前三种情况很简单，再次不赘述，特别地，有一种情况不能忽略，如下图：（红色范围为栏杆，蓝色为当前格）
在这里插入图片描述
如果 $dp_{i,j}=dp_{i+1,j}+dp_{i,j+1}$ ，会发现黑色部分重复计算，需要减去围栏左下角的 $d p$ 值。

时间复杂度 $O(n^2)$ ，需要优化

优化

我们发现除了有围栏遮挡的情况外，当前状态的更新都用到 $dp_{i+1,j}$ 和 $dp_{i,j+1}$ ，可以考虑差分：
我们可以按 $y$ 从大往小扫描线，维护数组 $f_i$ ，表示第y列中（注意题目中的y是横坐标） $dp_{i,y}-dp_{i+1,y}$ 的值。可以画个图帮助理解：
在这里插入图片描述
如上图 $f_1$ 统计范围是蓝色部分， $f_2$ 也是它对应的横条， $f_3$ 统计围栏内，而 $f_4$ 则统计黄色部分，一个“7”形。
这样，要统计某一头牛 $(x, y)$ 能到达的花，只需找出第一个挡住它的围栏横坐标（R），答案就是 $∑x≤i≤Rfi\sum_{x\leq i\leq R}f_i$