【XSY2133】【BZOJ4555】【TJOI2016】【HEOI2016】求和 第二类斯特林数 NTT

本文探讨了如何求解一个特定的数列问题f(n),该数列涉及到斯特林数和阶乘等数学概念,并给出了一种利用快速傅里叶变换(NTT)的有效计算方法。

题目大意

  求f(n)=ni=0ij=02j×j!×S(i,j)

  对998244353取模
  
  n100000

题解

S(n,k)=1k!i=0k(1)i(ki)(ki)n=1k!i=0k(1)ik!i!(ki)!(ki)n=i=0k(1)ii!(ki)n(ki)!

  因为S(i,j)=0 (i<j),所以

f(n)=i=0nj=0n2j×j!×S(i,j)=j=0n2j×j!×i=0nS(i,j)=j=0n2j×j!×i=0nl=0j(1)il!(jl)i(jl)!=j=0n2j×j!×l=0j(1)il!i=0n(jl)i(jl)!

  设
A(x)=(1)ii!,B(x)=i=0nxix!

  所以
B(x)=xn+11x!(x1)

f(n)=j=0n2j×j!×i=0jA(i)B(ji)

  直接上NTT

  时间复杂度:O(nlogn)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            s=s*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return s;
}
namespace ntt
{
    ll w1[1000010];
    ll w2[1000010];
    int rev[1000010];
    int n;
    void init()
    {
        n=262144;
        int i;
        for(i=2;i<=n;i<<=1)
        {
            w1[i]=fp(3,(p-1)/i);
            w2[i]=fp(w1[i],p-2);
        }
        rev[0]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
    }
    void ntt(ll *a,int t)
    {
        int i,j,k;
        ll w,wn,u,v;
        for(i=0;i<n;i++)
            if(rev[i]<i)
                swap(a[i],a[rev[i]]);
        for(i=2;i<=n;i<<=1)
        {
            wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
            for(j=0;j<n;j+=i)
            {
                w=1;
                for(k=j;k<j+i/2;k++)
                {
                    u=a[k];
                    v=a[k+i/2]*w%p;
                    a[k]=(u+v)%p;
                    a[k+i/2]=(u-v+p)%p;
                    w=w*wn%p;
                }
            }
        }
        if(t==-1)
        {
            ll inv=fp(n,p-2);
            for(i=0;i<n;i++)
                a[i]=a[i]*inv%p;
        }
    }
};
ll a[500010];
ll b[500010];
ll fac[200010];
int main()
{
    ntt::init();
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i;
    fac[0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    a[0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
        a[i]=(((i&1?-1:1)*fp(fac[i],p-2))%p+p)%p;
    b[0]=1;
    b[1]=n+1;
    for(i=2;i<=n;i++)
        b[i]=((fp(i,n+1)-1)*fp(fac[i]*(i-1)%p,p-2)%p+p)%p;
    ntt::ntt(a,1);
    ntt::ntt(b,1);
    for(i=0;i<ntt::n;i++)
        a[i]=a[i]*b[i]%p;
    ntt::ntt(a,-1);
    ll ans=0;
    for(i=0;i<=n;i++)
        ans=(ans+fp(2,i)*fac[i]%p*a[i]%p)%p;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
根据提供的引用内容,你遇到的问题是在发送HTTP POST请求时收到了403 Forbidden的错误。这个错误通常表示你没有权限访问所请求的资源。 要解决这个问题,你可以采取以下步骤: 1. 首先,确保你的请求URL正确,并且你有权限访问该URL。你可以尝试在浏览器中直接访问该URL,看看是否能够成功访问。 2. 如果你确定URL是正确的,并且你有权限访问,那么可能是你的请求中缺少了必要的身份验证信息。你可以检查你的请求头中是否包含了正确的身份验证信息,比如Token或用户名密码。 3. 另外,你还可以检查服务器端的配置,确保你的请求被正确地处理和授权。你可以查看服务器的日志,以了解更多关于403错误的详细信息。 综上所述,当你收到403 Forbidden错误时,你应该首先检查URL和权限,然后确保请求中包含了正确的身份验证信息。如果问题仍然存在,你可以进一步检查服务器端的配置和日志,以找出问题的根本原因。 #### 引用[.reference_title] - *1* [kubeadm init报错10248...(The HTTP call equal to ‘curl -sSL http://localhost:10248/healthz‘ failed)](https://blog.youkuaiyun.com/weixin_45969972/article/details/123529966)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] - *2* [c/c++使用libcurl库做http客户端及封装(HTTP_GET和HTTP_POST)](https://blog.youkuaiyun.com/xsy29000/article/details/103181267)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] [ .reference_list ]
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