【bzoj3672】[Noi2014]购票【斜率优化dp】【线段树】

最新推荐文章于 2022-09-23 17:02:26 发布

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本文介绍了一种结合斜率优化和线段树维护凸包的算法，用于解决复杂的数据查询问题。通过在线段树上查找指定区间，并在凸包上进行二分搜索，实现了O(n(log_2n)^2)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这个斜率优化式很简单，推一下就出来了，跟陶陶的难题II很像。
接下来就在线段树上维护凸包就好了。查询的时候在线段树上找到对应区间，然后在凸包上二分。
为了方便，我写了可撤销的线段树+凸包。
时间复杂度 $O(n(log_2n)^2)$ 。

#pragma GCC optimize(3)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cassert> 
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=200005;
int n,type,cnt,fa[N][20],head[N],dep[N],to[N],nxt[N];
ll fd[N],p[N],q[N],l[N],f[N],dis[N],siz1[N*4],siz2[N*4];
struct data{
	ll x,y;
}a[N];
int* v1[N*4];
struct operation{
	bool type;//0:push 1:pop
	int id,from;
};
operation* v2[N*4];
void adde(int u,int v){
	to[++cnt]=v;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}
void dfs(int u){
	dep[u]=dep[fa[u][0]]+1;
	dis[u]=dis[fa[u][0]]+fd[u];
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	}
	int v;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
		v=to[i];
		dfs(v);
	}
}
int jump(int u,ll d){
	for(int i=19;i>=0;i--){
		if(fa[u][i]&&dis[u]-dis[fa[u][i]]<=d){
			d-=dis[u]-dis[fa[u][i]];
			u=fa[u][i];
		}
	}
	return u;
}
double getx(data a,data b){
	return b.x-a.x;
}
double gety(data a,data b){
	return b.y-a.y;
}
void build(int o,int l,int r){
	v1[o]=new int[r-l+1];
	v2[o]=new operation[2*(r-l+1)];
	if(l==r){
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(o*2,l,mid);
	build(o*2+1,mid+1,r);
}
void update(int o,int l,int r,int k,int id){
	while(siz1[o]>1&&gety(a[v1[o][siz1[o]]],a[id])*getx(a[v1[o][siz1[o]-1]],a[v1[o][siz1[o]]])<=gety(a[v1[o][siz1[o]-1]],a[v1[o][siz1[o]]])*getx(a[v1[o][siz1[o]]],a[id])){
		v2[o][++siz2[o]]=(operation){1,id,v1[o][siz1[o]]};
		siz1[o]--;
	}
	v1[o][++siz1[o]]=id;
	v2[o][++siz2[o]]=(operation){0,id};
	if(l==r){
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(k<=mid){
		update(o*2,l,mid,k,id);
	}else{
		update(o*2+1,mid+1,r,k,id);
	}
}
void reset(int o,int l,int r,int k,int id){
	operation now;
	while(siz2[o]){
		now=v2[o][siz2[o]];
		if(now.id!=id){
			break;
		}
		if(!now.type){
			siz1[o]--;
		}else{
			v1[o][++siz1[o]]=now.from;
		}
		siz2[o]--;
	}
	if(l==r){
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(k<=mid){
		reset(o*2,l,mid,k,id);
	}else{
		reset(o*2+1,mid+1,r,k,id);
	}
}
ll get(int o,int id){
	int l=1,r=siz1[o],mid;
	while(l<r){
		mid=(l+r)/2;
		if(gety(a[v1[o][mid]],a[v1[o][mid+1]])>p[id]*getx(a[v1[o][mid]],a[v1[o][mid+1]])){
			r=mid;
		}else{
			l=mid+1;
		}
	}
	return f[v1[o][r]]+p[id]*(dis[id]-dis[v1[o][r]])+q[id];
}
ll query(int o,int l,int r,int L,int R,int id){
	if(L==l&&R==r){
		return get(o,id);
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(R<=mid){
		return query(o*2,l,mid,L,R,id);
	}else if(L>mid){
		return query(o*2+1,mid+1,r,L,R,id);
	}else{
		return min(query(o*2,l,mid,L,mid,id),query(o*2+1,mid+1,r,mid+1,R,id));
	}
}
void solve(int u){
	if(u!=1){
		int anc=jump(u,l[u]);
		f[u]=query(1,1,n,dep[anc],dep[u]-1,u);
	}
	a[u]=(data){dis[u],f[u]};
	update(1,1,n,dep[u],u);
	int v;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
		v=to[i];
		solve(v);
	}
	reset(1,1,n,dep[u],u);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&type);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		scanf("%d%lld%lld%lld%lld",&fa[i][0],&fd[i],&p[i],&q[i],&l[i]);
		adde(fa[i][0],i);
	}
	dfs(1);
	build(1,1,n);
	solve(1);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		printf("%lld\n",f[i]);
	}
	return 0;
}
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