数学规律题 - 百度之星1001 小C的倍数问题

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探讨了在P进制中寻找满足特定条件的B值的数量，这些B值使得一个正整数是B的倍数的充分必要条件是其各位数字之和也是B的倍数。通过数学分析给出了具体的实现思路及代码。

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小C的倍数问题

题意：

根据小学数学的知识，我们知道一个正整数x是3的倍数的条件是x每一位加起来的和是3的倍数。反之，如果一个数每一位加起来是3的倍数，则这个数肯定是3的倍数。

现在给定进制P，求有多少个B满足P进制下，一个正整数是B的倍数的充分必要条件是每一位加起来的和是B的倍数。

数据范围：

第一行一个正整数T表示数据组数(1<=T<=20)。

接下来T行，每行一个正整数P(2 < P < 1e9)，表示一组询问。

思路：

先理解一下为什么一个数各个数位上的和是3的倍数那这个数就是3倍数：
先看两位数字的,如数码ab组合
a+b为3的倍数
那么10*a+b=9a+(a+b)
9a能被3整除,a+b能被3整除,所以10*a+b能被3整除
再看三位数字的,如数码abc组合
a+b+c为3的倍数
那么100*a+10*b+c=99a+9b+(a+b+c)
99a,9b,(a+b+c)都能被3整除,所以100*a+10*b+c能被3整除
实际上,对于任何一个自然数a(1)a(2)a(3)a(4)....a(n)
如果a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)为3的倍数
那么
a(1)*10^(n-1)+a(2)*10^(n-2)+....+a(n-1)*10+a(n)
=a(1)*[10^(n-1)-1]+a(2)*[10^(n-2)-1]+...+a(n-1)*9+[a(1)+a(2)+...+a(n)]
中间的每一项.都能被3整除
所以：
一个数各个数位上的和是3的倍数那这个数就是3倍数（转自：小广广---C先生）

在P进制，能出现的数字为1.....P-1，而B的各位之和加起来要是B的倍数，打个表发现，B是不会超过P的的。

假设一个数为： p 进制下的 a1a2a3 % B == 0,那么以下俩个等式一定成立：
1）a1 * p ^ 2 + a2 * p ^ 1 + a3 * p ^ 0 = sum % B == 0,
2）a1 + a2 + a3 = ans % B == 0

以上两个式子同时成立的条件是： p % B == 1
所以满足条件的 B 的个数为 p - 1 的因子数，只要枚举p-1的因子数就可以了。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;

int num(int n)
{
    int cnt=2;
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            if(i==sqrt(n) && n/i==i)
            {
                cnt++;
            }
            else cnt+=2;
        }
    }
    return cnt;
}


int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        if(n==1) printf("1\n");
        else printf("%d\n",num(n-1));
    }


    return 0;
}