小C的倍数问题
题意:
根据小学数学的知识,我们知道一个正整数x是3的倍数的条件是x每一位加起来的和是3的倍数。反之,如果一个数每一位加起来是3的倍数,则这个数肯定是3的倍数。
现在给定进制P,求有多少个B满足P进制下,一个正整数是B的倍数的充分必要条件是每一位加起来的和是B的倍数。
数据范围:
第一行一个正整数T表示数据组数(1<=T<=20)。
接下来T行,每行一个正整数P(2 < P < 1e9),表示一组询问。
思路:
先理解一下为什么一个数各个数位上的和是3的倍数那这个数就是3倍数:
先看两位数字的,如数码ab组合
a+b为3的倍数
那么10*a+b=9a+(a+b)
9a能被3整除,a+b能被3整除,所以10*a+b能被3整除
再看三位数字的,如数码abc组合
a+b+c为3的倍数
那么100*a+10*b+c=99a+9b+(a+b+c)
99a,9b,(a+b+c)都能被3整除,所以100*a+10*b+c能被3整除
实际上,对于任何一个自然数a(1)a(2)a(3)a(4)....a(n)
如果a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)为3的倍数
那么
a(1)*10^(n-1)+a(2)*10^(n-2)+....+a(n-1)*10+a(n)
=a(1)*[10^(n-1)-1]+a(2)*[10^(n-2)-1]+...+a(n-1)*9+[a(1)+a(2)+...+a(n)]
中间的每一项.都能被3整除
所以:
一个数各个数位上的和是3的倍数那这个数就是3倍数 (转自:小广广---C先生)
在P进制,能出现的数字为1.....P-1,而B的各位之和加起来要是B的倍数,打个表发现,B是不会超过P的的。
假设一个数为 : p 进制下的 a1a2a3 % B == 0,那么以下俩个等式一定成立:
1)a1 * p ^ 2 + a2 * p ^ 1 + a3 * p ^ 0 = sum % B == 0,
2)a1 + a2 + a3 = ans % B == 0
所以满足条件的 B 的个数为 p - 1 的因子数,只要枚举p-1的因子数就可以了。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
int num(int n)
{
int cnt=2;
for(int i=2; i<=sqrt(n); i++)
{
if(n%i==0)
{
if(i==sqrt(n) && n/i==i)
{
cnt++;
}
else cnt+=2;
}
}
return cnt;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
if(n==1) printf("1\n");
else printf("%d\n",num(n-1));
}
return 0;
}