Luogu P1226 【模板】快速幂||取余运算 普及-

快速幂的核心思想是用二进制的右移运算来减少运算次数

例如：我们要算 $n^p$ 假设 $p=7$，我们原来的运算步骤是：
$$\begin{gathered} n^2=n\ast n \\ {n}^3=n^2\ast n \\ {n}^4=n^3\ast n \\ {n}^5=n^4\ast n \\ {n}^6=n^5\ast n \\ {n}^7=n^6\ast n \end{gathered}$$
运用快速幂，我们可以简化为：
$$\begin{gathered} n^2=n\ast n \\ {n}^4=n^2\ast n^2 \\ {n}^7=n^4\ast n^2\ast n \end{gathered}$$
可以看出运算次数大量减少了。

其中 $7=(111{)}_2$ 对应 $n^{1\ast 2^2+1\ast 2^1+1\ast 2^0}$。
假设 $p=(p_i{p}_{i-1}...p_2{p}_1{p}_0{)}_2$, 则 $n^p=n^{p_i\ast 2^i+...+p_1\ast 2^1+p_0\ast 2^0}$

如果要对结果取余，那么在每一步乘法运算中都要取余，并且还要对最后的结果取余。

AC代码

#include <iostream>
using namespace std;
using LL = long long;

LL binpowmod(LL a, LL b, LL mod)
{
    LL res = 1;
    a %= mod;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {
            res = (res * a) % mod;
        }
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res % mod;
}

int main()
{
    LL a, b, mod;
    cin >> a >> b >> mod;
    LL res = binpowmod(a, b, mod);
    cout << a << "^" << b << " mod " << mod << "=" << res << endl;
    return 0;
}