动态规划实战：如何实现搜索引擎中的拼写纠错功能？

------ 本文是学习算法的笔记，《数据结构与算法之美》，极客时间的课程 ------

在Trie 树那节，我们讲过，利用 Trie 树，可以实现搜索引擎的关键词提示功能，这样可以节省用户输入搜索关键词的时间。实际上，搜索引擎在用户体验方面的优化还有很多，比如你可能经常会用的拼写纠错功能。

当你在搜索框中，一不小心输错单词，搜索引擎会非常智能地检测出你的拼写错误，并且用对应的正确的单词来进行搜索。作为一名软件开发工程师，这个功能你该怎么实现呢？

如何量化两个字符串的相似度？

计算机只认识数字，所以要解答开篇的问题，我们就要先来看，如何量化两个字符串之间的相似程度呢？有一个非常著名的量化方法，那就是编辑距离（Edit Distance）

顾名思义，编辑距离指的就是，将一个字符串转化成另一个字符串，需要的最少编辑操作次数（比如增加一个字符、删除一个字符、替换一个字符）。编辑距离越大，说明两个字符串的相似程度越小；相反，编辑距离越小，说明两个字符串的相似程度越大。对于两个完全相同的字符串来说，编辑距离就是0。

根据所包含的编辑操作种类不同，编辑距离有多种不同的计算方式，比较著名的有莱文斯坦距离（Levenshtein distance）和最长公共子串长度（Longest common substring length）。其中，莱文斯坦距离允许增加、删除、替换三个编辑操作，最长公共子串长度只允许增加、删除字符两个编辑操作。

而且，莱文斯坦距离和最长公共子串长度，从两个截然相反的角度，分析字符串的相似程度。莱文斯坦距离的大小，表示两个字符串差异的大小；而公共最长子串的大小，表示两个字符串相似的程度大小。

关于这两个计算方法，我举个例子说明一下。这里面，两个字符串 mitcmu 和 mtacnu 的莱文斯坦距离是3，最长公共子串长度是4。
了解了编辑距离的概念之后，我们来看，如何快速计算两个字符串之间的编辑距离。

如何编程计算莱文斯坦距离？

之前我反复强调过，思考过程比结论更重要，所以，我现在展示下，解决这个问题， 我的完整的思考过程。

这个问题是把一个字符串变成另一个字符串，需要最少编辑次数。整个求解过程，涉及多个决策阶段，我们老板娘依次考察一个字符串中的每个字符，跟另一个字符串中的字符是否匹配，匹配的话如何处理，不匹配的话又如何处理。所以，这个问题符合多阶段决策最优解模型。

我们前面讲了，贪心、回溯、动态规划可以解决的问题，都可以抽象成这样一个模型。要解决这个问题，我们可以先看一看，用最简单的回溯算法，该如何来解决。

回溯是一个递归处理的过程。如果 a[i] 和 b[j] 匹配，我们递归考察 a[i+1] 和 b[j+1]。如果a[i] 和 b[j]不匹配，那我们有多种处理方式可选：

• 可以删除 a[j]，然后递归考察 a[i+1] 和 b[j]；
• 可以删除 b[j]，然后递归考察 a[i] 和 b[j+1]；
• 可以在 a[i] 前面添加一个和 b[j] 相同的字符，然后递归考察a[i] 和 b[j+1]；
• 可以在 b[i] 前面添加一个和 a[j] 相同的字符，然后递归考察a[i+1] 和 b[j]；
• 可以将 a[i] 替换成 b[j]