清华月赛大吉大利晚上吃鸡题解-优快云博客

《大吉大利，晚上吃鸡！》题解

出题人：陈宇

验题人：刑健开(jkxing)

题目简述

给定一张有边权（边权全为正）的无向图， $n$ 个点 $m$ 条边，给定起点 $S$ 和终点 $T$ ，问有多少对 $A$ 和 $B$ 满足从 $S$ 到 $T$ 的任意最短路一定经过 $A$ 或者 $B$ ，但是不存在某条最短路同时经过 $A$ 和 $B$ 。

解法一

首先是最暴力的解法，枚举任意点对 $A$ 和 $B$ ，然后删掉 $A$ 和 $B$ ，看看最短距离是否会变长，然后查看 $dis(S, A) + dis(A, B) + dis(B, T)$ 是否和 $dis(S, T)$ 相等，其中 $dis(X, Y)$ 表示原图中点 $X$ 到 $Y$ 的最短距离，由此可以判断枚举的 $A$ 和 $B$ 是否是合法的点对。

其中， $dis(X, Y)$ 可以用floyd求解

时间复杂度： $O(n^3)$

期望得分： $30$

解法二

首先，虽然题目中给定的是无向图，但是实际上我们可以先从 $S$ 出发求一遍最短路，然后问题变成了：“在有向无环图上，求有多少个满足条件的点对 $A,B$ ,满足从 $S$ 到 $T$ 的所有路径一定经过 $A,B$ 其中一点，并且不存在路径同时经过 $A,B$ ”。

求解这到题目的一个关键点在于：满足条件的点对 $A,B$ 具有特点：从 $S$ 到 $A$ 的方案数 $\times$ 从 $A$ 到 $T$ 的方案数 + 从 $S$ 到 $B$ 的方案数 $\times$ 从 $B$ 到 $T$ 的方案数 $=$ 从 $S$ 到 $T$ 的方案数。

所以在有向无环图上用动态规划求解路径条数，再去掉 $A$ 可以到达 $B$ 或 $B$ 可以到达 $A$ 的情况即可求解这到题目。

PS：方案数可能会爆掉怎么办？可以对方案数求余一个大整数，如果觉得不够的话可以求余两个大整数。

时间复杂度： $O(n^2+n*m)$

期望得分： $60$

解法三

在解法二中，定义 $F(X) =$ 从 $S$ 到 $X$ 的方案数 $\times$ 从 $X$ 到 $T$ 的方案数 = 从 $S$ 经过 $X$ 到达 $T$ 的方案数，所以满足条件的点对 $A,B$ 为:

$F(A) + F(B) = F(T)$
$A$ 和 $B$ 不能相互到达

对于条件 $1$ ，我们可以使用数据结构进行优化（使用std::map即可），而对于条件 $2$ ，我们可以使用 $bitset$ 位压 $32$ 或者 $64$ 位进行加速，使得最终时间和空间都能够承受。

时间复杂度： $O(n*log(n)+n*m/32)$

期望得分： $100$