【JZOJ2318】【BZOJ1911】【APIO2010】特别行动队

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本文介绍了一种利用斜率优化技巧改进动态规划算法的方法，适用于特定形式的转移方程。通过对实例问题的分析，详细展示了如何推导斜率条件，并使用单调队列维护最优解的过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

description

你有一支由n名预备役士兵组成的部队，士兵从1到n编号，要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，即为形如(i, i + 1, …, i + k)的序列。编号为i的士兵的初始战斗力为xi ，一支特别行动队的初始战斗力x为队内士兵初始战斗力之和，即x = xi + xi+1 + … + xi+k。通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公式修正为x’：x’ = ax2 + bx + c，其中a, b, c是已知的系数（a < 0）。作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。试求出这个最大和。例如，你有4名士兵，x1 = 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4。经验公式中的参数为a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成3个特别行动队：第一队包含士兵1和士兵2，第二队包含士兵3，第三队包含士兵4。特别行动队的初始战斗力分别为4, 3, 4，修正后的战斗力分别为4, 1, 4。修正后的战斗力和为9，没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。

analysis

~~达成成就一天两斜率优化~~
设 $f [i]$ 表示到第 $i$ 位的最小值，那么 $O(n^2)$ 的 $D P$ 方程很好写

$f[i]=min(f[j]+a(pre[i]-pre[j])^2+b(pre[i]-pre[j])+c)$

对于 $k > j$ 且 $k$ 比 $j$ 优则有

$f[k]+a(pre[i]-pre[k])^2+b(pre[i]-pre[k])+c≥f[j]+a(pre[i]-pre[j])^2+b(pre[i]-pre[j])+c$

拆项移项得

$f[k]-f[j]≥a(pre[i]-pre[j])^2-a(pre[i]-pre[k])^2+b(pre[i]-pre[j])-b(pre[i]-pre[k])$

再移

$f[k]-f[j]≥a(pre[i]^2-2pre[i]pre[j]+pre[j]^2)-a(pre[i]^2-2pre[i]pre[j]+pre[k]^2)+b(pre[k]-pre[j])$

$f[k]+apre[k]^2-f[j]-apre[j]^2-b(pre[k]-pre[j])≥apre[i](2pre[k]-2pre[j])$

最后

${{f[k]+apre[k]^2-f[j]-apre[j]^2-b(pre[k]-pre[j])}\over{2a(pre[k]-pre[j])}}≥pre[i]$

然后按套路上单调队列斜率优化维护上凸壳就可以了
注意先删去较劣的队头后删去较劣的队尾
还有这题删劣决策点的符号很奇怪，我也不太懂
你听说什么是如出一辙吗，推荐试下找不同

code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 1000005
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
#define O3 __attribute__((optimize("-O3")))

using namespace std;

ll a[MAXN],f[MAXN],pre[MAXN],que[MAXN];
ll n,A,B,C;

O3 inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
O3 inline ll sqr(ll x)
{
	return x*x;
}
O3 inline double slope(ll x,ll y)
{
	return 1.0*(f[x]+A*sqr(pre[x])-f[y]-A*sqr(pre[y])-B*(pre[x]-pre[y]))/(2.0*A*(pre[x]-pre[y]));
}
O3 int main()
{
	//freopen("T3.in","r",stdin);
	n=read(),A=read(),B=read(),C=read();
	fo(i,1,n)pre[i]=pre[i-1]+(a[i]=read());
	ll head=1,tail=1;f[0]=que[1]=0;
	fo(i,1,n)
	{
		while (head<tail && slope(que[head],que[head+1])<=pre[i])++head;
		f[i]=f[que[head]]+A*sqr(pre[i]-pre[que[head]])+B*(pre[i]-pre[que[head]])+C;
		while (head<tail && slope(que[tail-1],que[tail])>=slope(que[tail],i))--tail;
		que[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}