JZOJ1517.2017.05.27【提高组】模拟赛C组 T1背包问题

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本文介绍了一种经典的背包问题解法，通过对每组物品选择连续段进行优化，利用动态规划减少时间复杂度，并通过预处理简化计算过程。

Description

从T组物品中选出一些物品，放入背包中，求剩余空间的最小值。
限制条件：从每组物品中挑选物品必须要选取连续的一段。就是说，如果这组物品共有n个：物品1、物品2、物品3、…、物品n，那么只能选取物品i、物品i+1、…、物品j，其中1<=i<=j<=n,或者不选。

Input

第一行为两个用空格隔开的正整数v和T。表示背包的空间和物品的组数。接下来有T行，每行先是一个正整数ni，表示这组物品有ni个，然后ni个正整数，表示每个物品的大小。

Output

仅一个数，表示剩余空间的最小值。

Sample Input

100 3
3 7 6 8
2 80 70
4 101 108 103 150

Sample Output

Data Constraint

Hint

【样例说明】
第1组选6、8，第2组选80，第3组不选。
【限制】
60%的数据满足：1 <= ni <= 10
100%的数据满足：1 <= ni <= 100，1<=v<=5000，1<=T<=10

思路：
这题比较经典，可以列入背包问题的例题
之前有一段时间没做背包，比赛时推了十分钟左右，然后开码

从一开始就在思考DP的做法
题目中限制的取法，只需再加上两个l，r循环枚举头尾
那么思考状态
一个状态明显不能满足要求（背包容量的状态）
于是乎，我们可以考虑加上另一个第几层的状态：

f[i，j]表示到取到第j层时容量为i的背包装入的最大值
转移方程为f[i，j]=max（f[i，j]，f[i-x，j-1]+x）
无需任何初始化
这里的x为当前这一段物品要取的和，用前缀和求即可（x=pre[j，r]-pre[j，l-1]）
然后AC
简单吧？

哦，对了，还有一个东西
我们可以在DP之前先把每一层的所有情况的数字存到另一个数组里
DP中使用一重循环代替枚举头尾l，r的两重循环
由此可以将四重循环压至三重
code好看了，时间也砍了100ms左右

代码：

var
        f:array[0..5000,0..10]of longint;
        pre:array[0..10,0..100]of longint;
        fx:array[0..10,0..100000]of longint;
        a,b:array[0..10]of longint;
        n,i,j,k,l,r,v,t,tot,ans,x:longint;
function max(x,y:longint):longint;
begin
        if x>y then exit(x);
        exit(y);
end;
function min(x,y:longint):longint;
begin
        if x<y then exit(x);
        exit(y);
end;
begin
        readln(v,t);
        for i:=1 to t do
        begin
                read(a[i]);
                for j:=1 to a[i] do
                begin
                        read(x);
                        pre[i,j]:=pre[i,j-1]+x;
                end;
        end;
        for i:=1 to t do
        for l:=1 to a[i] do
        for r:=l to a[i] do
        begin
                inc(b[i]);
                fx[i,b[i]]:=pre[i,r]-pre[i,l-1];
        end;
        for i:=1 to v do
        for j:=1 to t do
        begin
                f[i,j]:=f[i,j-1];
                for k:=1 to b[j] do
                begin
                        if fx[j,k]<=i then
                        f[i,j]:=max(f[i,j],f[i-fx[j,k],j-1]+fx[j,k]);
                end;
        end;
        for i:=1 to t do
        ans:=max(ans,f[v,i]);
        writeln(v-ans);
end.