洛谷P3374 树状数组 1

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题目

一个数列，满足如下操作
①给其中一个数加x
②求区间和
数列长度n，操作数m满足 $1 < = n, m < = 500000$

分析

树状数组基础支持这两种操作，核心思想是将 1~i 的整体和分成许多个小的区间和，分割的条件是二进制拆分。

首先介绍一个lowbit，意思是取到二进制下的最后一个1，其所代表的数字。
如7=(111)₂，lowbit(7)=(1)₂=1；6=(110)₂，lowbit(6)=(10)₂=2

然后回到二进制拆分
比如7=2²+2¹+2⁰=(111)₂，发现二进制拆分的前缀（只能在1的位置取前缀）对应一个区间： $[x - l o w b i t (x) + 1, x]$ ，x是某一个数
如2²+2¹+2⁰对应[6+1,7]，即7这一个位置，然后拆掉末尾
2²+2¹，对应[4+1，6]，即[5,6]，拆掉末尾
2²，对应[1,4]。
发现其实是这样一个过程，某个前缀值+1，到下一个前缀为止，这样[5,6]的表示其实就是[2²+1，2²+2¹]
这就是按二进制位划分了一些块，表示一部分的区间和

画图能得到这样的图。
我们在做单点加法的时候，是要从一个点x找到所有包含这个点的区间，这个只需要x+=lowbit(x)即可迭代寻找（逆过程），图上表现为从左下向右上

在做区间求和的时候，首先将 $[l, r]$ 的求和转化为 $[1, r] - [1, l - 1]$ 的求和，转化为树状数组的基础操作。
之后，将整体的前缀和划分为一系列C[i]的和，根据上面的区间划分，发现C[i]表示的是 $[i - l o w b i t (i) + 1, i]$ 的区间和，这样，只要i-=lowbit(i)，就能迭代到下一个区间的末端，在图上表现为从右下到左上

代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x&(-x))//lowbit操作：x&(-x)，取到最低位的1及其后的0
class Binary_Indexed_Tree {
private:
	const static int MAXN = 500005;
	int C[MAXN];
	int N;//一共1~n
public:
	void setn(int n)
	{
		N = n;
	}
	void add(int p, int v)//单点加
	{
		while (p <= N)
		{
			C[p] += v;
			p += lowbit(p);
		}
	}
	int query(int p)//查询从1到p的前缀和
	{
		int ans = 0;
		while (p)
		{
			ans += C[p];
			p -= lowbit(p);
		}
		return ans;
	}
}T;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n, m, temp;
	cin >> n >> m;//n个数，m个操作
	T.setn(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> temp;
		T.add(i, temp);
	}
	int t1, t2;
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		cin >> temp >> t1 >> t2;
		if (temp == 1)T.add(t1, t2);
		else cout << T.query(t2) - T.query(t1 - 1) << endl;
	}

	return 0;
}