缓和曲线中线与其平行线间面积的精确推导

最新推荐文章于 2022-12-15 19:42:55 发布

engineerlzk

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分类专栏：测量技术文章标签：缓和曲线卵形曲线面积计算

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本文针对缓和曲线的特殊性质，推导出了计算缓和曲线一侧指定范围内面积的精确公式。适用于完整缓和曲线和非完整缓和曲线（卵形曲线），并详细探讨了两种情况下内外侧面积的计算方法。

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很多时候我们需要单独计算路线某一侧指定范围的面积，由于缓和曲线的特殊性，仅仅是简单的平均算法肯定不能满足工程要求。现在笔者就从缓和曲线的基本特性入手，给大家推导出面积计算的精确公式，希望能帮到大家！(文中计算方法为笔者根据缓和曲线特性原创推导，转载请注明出处)
缓和曲线面积计算示意图
如图所示，设缓和曲线平行线到缓和曲线中线的距离为D，取缓和曲线上一小微段，小微段夹角为 $θ\theta$ ，此处的缓和曲线半径为r，则有： $dl=r⋅dθ；dL=(D+r)⋅dθ=(D+r)⋅dlr=(1+DlA2)dldl=r·d\theta；dL=(D+r)·d\theta=(D+r)·\frac{dl}{r}=(1+\frac{Dl}{A^2})dl$
面积 $dS=dl+dL2⋅D=dl2⋅D+dl2⋅D+dl2A2⋅D2l=Ddl+D2l2A2dldS=\frac{dl+dL}{2}·D=\frac{dl}{2}·D+\frac{dl}{2}·D+\frac{dl}{2A^2}·D^2l=Ddl+\frac{D^2l}{2A^2}dl$
积分后得到： $S=Dl+D2l24A2S=Dl+\frac{D^2l^2}{4A^2}$

1、对于完整缓和曲线：

$S=DLS+D2LS24RLS=DLS+D2LS4RS=DL_S+\frac{D^2L_S^2}{4RL_S}=DL_S+\frac{D^2L_S}{4R}$
上述面积为缓和曲线外侧至边线组成的面积公式，若是在内侧，则：
$S=DLS−D2LS4RS=DL_S-\frac{D^2L_S}{4R}$
这说明缓和曲线段内左右侧（即全宽范围内）的边线范围内的曲线面积为2DLs，与其他曲线无异，但左右侧各不相同。

2、对于非完整缓和曲线（卵形曲线）

假设起点的推算完整缓和曲线长为 $L_1$ ，终点的推算完整缓和曲线长为 $L_2$ ，卵形曲线长度为 $L_F$ ，则其面积为推算原点到终点间面积-推算原点至起点间面积，即：
$S=DL2+D2L224A2−DL1−D2L124A2=DLF+D24A2(L22−L12)S=DL_2+\frac{D^2L^2_2}{4A^2}-DL_1-\frac{D^2L^2_1}{4A^2}=DL_F+\frac{D^2}{4A^2}(L^2_2-L_1^2)$
而 $R1L1=R2L2=R1(L2−LF)⇒L1=R2LFR1−R2；L2=R1LFR1−R2R_1L_1=R_2L_2=R_1(L_2-L_F)\Rightarrow L_1=\frac{R_2L_F}{R_1-R_2}； L_2=\frac{R_1L_F}{R_1-R_2}$
则 $L1+L2=R1+R2R1−R2LFL_1+L_2=\frac{R_1+R_2}{R_1-R_2}L_F$
$S=DLF+D24A2⋅R1+R2R1−R2⋅LF2S=DL_F+\frac{D^2}{4A^2}·\frac{R_1+R_2}{R_1-R_2}·L_F^2$
而 $A2=CF=R1R2R1−R2LFA^2=C_F=\frac{R_1R_2}{R_1-R_2}L_F$ $（!!相当于RF=R1R2R1−R2!!）（!!相当于R_F=\frac{R_1R_2}{R_1-R_2}!!）$ ，则有：
$S=DLF+D2(R1−R2)4R1R2LF⋅R1+R2R1−R2⋅LF2=DLF+R1+R24R1R2D2LFS=DL_F+\frac{D^2(R_1-R_2)}{4R_1R_2L_F}·\frac{R_1+R_2}{R_1-R_2}·L_F^2=DL_F+\frac{R_1+R_2}{4R_1R_2}D^2L_F$
$（!!相当于RF=R1R2R1+R2!!）（!!相当于R_F=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}!!）$
上述面积为卵形曲线外侧至边线组成的面积公式，若是在内侧，则：
$S=DLF−R1+R24R1R2D2LFS=DL_F-\frac{R_1+R_2}{4R_1R_2}D^2L_F$
这也说明卵形曲线段内左右侧（即全宽范围内）的边线范围内的曲线面积为 $2DL_F$ ，与其他曲线无异，但左右侧各不相同。

3、讨论

一些参考书上说可以把卵形曲线看成半径为 $RF=R1R2R1−R2，缓和曲线长为LFR_F=\frac{R_1R_2}{R_1-R_2}，缓和曲线长为L_F$ 的完整缓和曲线，但以此来计算 $P_F$ 是有误差的。而根据前述面积计算公式，又似乎可以得出 $RF=R1R2R1+R2R_F=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ 。因此，此种将卵形曲线看成特殊形式的完整缓和曲线是否正确还值得进一步研究论证。