bzoj 2678 [Usaco2012 Open]Bookshelf dp+multiset

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本文介绍了一种优化动态规划(DP)算法的方法，通过维护单调队列和使用multiset来解决路径规划问题，实现了从O(n^2)到O(nlogn)的时间复杂度优化。文章详细阐述了状态转移方程的推导过程，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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解法

显然有一个 $O(n^2)$ 的dp： $=min(f[j-1]+max(h[j],\dots,h[i]))\ (s[i]-s[j-1]\leq L)$ 。
那么我们考虑如何优化这个dp。
设 $g[j]=max(h[j],\dots,h[i])$ ，那么显然可以发现 $j$ 在满足要求的区间中 $g [j]$ 单调不升。
那么我们不妨可以维护出 $g [j]$ 相同的区间是什么。显然可以发现，在 $g [j]$ 相同的区间 $[l, r]$ 中， $f [l]$ 一定是整个区间中 $f$ 最小的，那么我们可以直接使用 $f [i]$ 转移。
因为 $f$ 在不同的区间中并不一定单调，所以我们需要使用一个multiset来维护这些区间中的答案。
考虑如何维护这些区间，显然我们只要使用一个队列就可以实现。
时间复杂度： $O(n\log n)$

【注意事项】

同时，如果状态转移方程写成 $f[i]=min(f[j]+max(h[j+1],\dots,h[i]))\ (s[i]-s[j]\leq L)$ 的话，可能处理转移区间的时候会有很多细节，不是特别容易实现。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100010
using namespace std;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = x > y ? x : y;}
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = x > y ? y : x;}
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
struct Node {int l, r;} q[N];
int a[N], h[N]; ll sum[N], f[N];
int main() {
	int n, L; read(n), read(L);
	int l = 1, r = 0;
	multiset <ll> s;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(h[i]), read(a[i]);
		sum[i] = sum[i - 1] + a[i]; int pos = i;
		while (l <= r && h[q[r].r] <= h[i])
			s.erase(s.find(f[q[r].l - 1] + h[q[r].r])), pos = q[r--].l;
		q[++r] = (Node) {pos, i}; s.insert(f[q[r].l - 1] + h[i]);
		while (l <= r && sum[i] - sum[q[l].l - 1] > L) {
			s.erase(s.find(f[q[l].l - 1] + h[q[l].r])), q[l].l++;
			if (q[l].l > q[l].r) l++; else s.insert(f[q[l].l - 1] + h[q[l].r]);
		}
		f[i] = *s.begin();
	}
	cout << f[n] << "\n";
	return 0;
}