31、MATLAB 符号数学：微分方程求解与表达式转换

MATLAB 符号数学：微分方程求解与表达式转换

1. 微分方程基础

微分方程包含因变量及其相对于自变量的导数。例如，$\frac{dy}{dt} = y$ 就是一个微分方程。在 MATLAB 中，默认的自变量是 $t$。

1.1 简单示例分析

• 对于函数 $y = e^t$，其关于 $t$ 的导数为 $\frac{dy}{dt} = e^t$，也可表示为微分方程 $\frac{dy}{dt} = y$。
• 该微分方程的解通常不止一个，函数族 $y = C_1e^t$ 都可以由这个微分方程表示。通过指定初始条件，如 $y(0) = 1$，可以确定特定的解，此时 $C_1 = 1$，解为 $y = e^t$。
• 再看函数 $y = t^2$，其导数 $\frac{dy}{dt} = 2t$，也可改写为 $\frac{dy}{dt} = \frac{2y}{t}$。

1.2 微分方程的阶数

• 只包含一阶导数的微分方程称为一阶微分方程，包含二阶导数的称为二阶微分方程，以此类推。

2. 使用 dsolve 函数求解微分方程

2.1 字符串输入方式

这是一种简单且常用的方法，使用大写字母 $D$ 来表示导数。
- 求解单个微分方程 ：
- 例如，求解 $\frac{dy}{dt} = y$，代码如下：

dsolve('Dy = y')