33、基于傅里叶变换与复值卷积神经网络的图像分类

基于傅里叶变换与复值卷积神经网络的图像分类

1. 引言

卷积神经网络在解决各类图像识别任务中取得了巨大成功。从手写数字识别到先进的大规模复杂任务，它凭借计算资源的提升以及在图形处理器（GPU）上的并行计算得以不断发展，推动了深度学习领域的兴起。

然而，复值深度学习领域才刚刚起步。复值卷积神经网络（CVCNNs）在处理复值图像方面展现出了潜力。一些成像设备，如合成孔径雷达（SAR）和功能磁共振成像（fMRI）会产生复值图像。在这些应用中，CVCNNs 表现出了优于实值卷积神经网络（RVCNNs）的性能。但大多数感兴趣的图像是实值的，CVCNNs 在实值图像识别中的应用较少。不过，通过离散傅里叶变换（DFT）可以将实值图像转换为唯一的复值表示，这使得对实值图像的分类问题等价于对其复值傅里叶变换的分类问题。

2. 傅里叶变换

傅里叶变换源于法国数学家 Jean - Baptiste Joseph Fourier 的研究，他证明了任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的和，即傅里叶级数。在图像处理中，我们主要关注离散傅里叶变换（DFT）。

对于一个 $M×N$ 的图像 $f(x, y)$，其 DFT 定义为：
$F(u, v) = \sum_{x = 0}^{M - 1}\sum_{y = 0}^{N - 1}f(x, y)e^{-ı2\pi(ux/M + vy/N)}$
其中，$ı^2 = - 1$ 是复虚数单位，$u = 0, 1, 2, \cdots, M - 1$，$v = 0, 1, 2, \cdots, N - 1$。

DFT 具有重要性质，它是图像空间上的双射函数，因此可以定义其逆