43、大规模动态经济模型的数值方法优化

大规模动态经济模型的数值方法优化

在动态经济模型的数值求解中，寻找方程的根往往需要探索大量候选点，这一过程成本高昂。为解决这一问题，我们将介绍多种优化方法，包括降低成本的方法、提高精度的方法以及预计算技术。

1. 降低动态规划方法的成本

1.1 内生网格法（EGM）

Carroll（2005）提出的内生网格法（EGM）简化了值函数迭代（VFI）中的根查找过程。其核心思想是在未来内生状态变量上构建网格，而非当前内生状态变量。在典型经济模型中，给定 $k’$ 求解 $k$ 比给定 $k$ 求解 $k’$ 更容易，因此 EGM 优于传统 VFI。

具体步骤如下：
1. 选择一个网格 ${(k’ m, \theta_m)} {m = 1, \cdots, M}$ 来近似值函数。
2. （省略与传统 VFI 重合的步骤）
3. 求解 $b$ 和 ${c_m, k_m}$，使得：
- （内循环）${c_m, k_m}$ 满足：
$u’(c_m) = \beta E[V_1(k’ m, \theta’ {m, j})]$
$c_m + k’_m = \theta_m f(k_m) + (1 - \delta) k_m$
给定 $V(k_m, \theta_m)$。

由于 $k’$ 的值是固定的（它们是网格点），可以预先计算 $E[V(k’, \theta’)] \equiv W(k’, \theta)$ 和 $E[V_1(k’, \theta’)] \equiv W_1(k’, \theta)$。此时，系统方程可重写为：
$(1