39、大规模动态经济模型的数值方法

大规模动态经济模型的数值方法

在处理大规模动态经济模型时，数值方法至关重要。本文将介绍传统插值公式的低效性，以及随机模拟算法相关内容，包括参数化期望算法（PEA）和广义随机模拟算法（GSSA），并探讨解决病态问题的回归方法。

1. 传统插值公式的低效性

传统插值公式（31） - （33）效率不高。它会从满足 $max(d, μ + 1) ≤i_1 + · · · + i_d ≤d + μ$ 的所有张量中创建一个包含许多重复元素的长列表，然后为列表中的每个元素分配权重以消除重复元素。

重复元素的数量会随着问题的维度和近似水平的增加而增多。例如，在二维示例中，当 $μ = 1$ 时，列表包含七个元素（即两个元素重复）；当 $μ = 2$ 时，列表包含 25 个元素（即 12 个元素重复）。在高维应用中，重复元素的数量非常多，严重限制了 Smolyak 方法的能力。

虽然原始的 Smolyak（1963）构造为我们提供了一组用于插值的高效网格点和基函数，但基于上述公式得到这些网格点和基函数的方式是低效的。Judd 等人（2013）提出了一种避免元素重复的 Smolyak 插值公式，是传统插值公式的有效替代方案。

2. 广义随机模拟算法

使用随机模拟寻找经济模型解的想法可以追溯到 Marcet（1988）的参数化期望算法（PEA），该算法后来在 Den Haan 和 Marcet（1990）中得到发展。PEA 适用于高维问题，但由于蒙特卡罗积分的低精度，其整体精度受到限制。此外，PEA 基于最小二乘学习，在随机模拟的背景下数值不稳定。

Judd 等人（2009，2011b）提出了广义随机模拟算法（GSSA