40、优化炮弹模拟与射程的梯度上升法

优化炮弹模拟与射程的梯度上升法

1 模拟增强与练习

1.1 验证初始速度向量的大小

若炮弹的初始速度为 ( |v| = v )，需要验证初始速度向量 ( (v \cos \theta \cos \phi, v \cos \theta \sin \phi, v \sin \theta) ) 的长度等于 ( v )。
根据正弦、余弦的定义以及勾股定理 ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 )，对向量的长度进行计算：
[
\begin{align }
&\sqrt{v^2 \cos^2 \theta \cos^2 \phi + v^2 \cos^2 \theta \sin^2 \phi + v^2 \sin^2 \theta}\
=&\sqrt{v^2(\cos^2 \theta \cos^2 \phi + \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^2 \theta)}\
=&\sqrt{v^2(\cos^2 \theta(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) + \sin^2 \theta)}\
=&\sqrt{v^2(\cos^2 \theta \cdot 1 + \sin^2 \theta)}\
=&\sqrt{v^2 \cdot 1}\
=& v
\end{align }
]

1.2 计算炮弹在特定地形上的射程公式

对于在具有海拔 ( Bx^2 - Cy^2 ) 的山脊上发射的炮弹，其射程 ( d ) 作为 ( \the