32、代数表达式建模与应用

代数表达式建模与应用

1. 代数表达式建模

在代数中，像 $3x^2 + x$ 这样的表达式可以拆分为 $3x^2$ 和 $x$ 的和。这里，$3x^2$ 是 3 和 $x^2$ 的乘积，而非 $3x$ 的平方，这遵循了常规的运算顺序。

我们可以把乘法和加法等运算看作是将两个或多个代数表达式组合成一个更大表达式的方式，而运算符则是将现有表达式拆分为更小表达式的有效位置。在函数式编程术语中，这种将小对象组合成大对象的函数通常被称为组合器。以下是表达式中涉及的一些组合器：
- $3x^2$ 是表达式 3 和 $x^2$ 的乘积。
- $x^2$ 是一个幂运算，即表达式 $x$ 的 2 次幂。
- 表达式 $\sin(x)$ 是函数应用，由表达式 $\sin$ 和表达式 $x$ 构建而成。

变量 $x$、数字 2 或函数 $\sin$ 不能再进一步拆分，我们将它们称为元素。例如表达式 $(3x^2 + x)\sin(x)$，虽然它只是页面上的一串符号，但这些符号以特定方式组合，传达了一定的数学意义。我们可以通过构建表达式树来直观展示这个表达式是如何由其底层元素构建的。

1.1 构建表达式树

元素 3、$x$、2 和 $\sin$，以及加法、乘法、幂运算和函数应用这些组合器，足以重建整个表达式 $(3x^2 + x)\sin(x)$。构建步骤如下：
1. 首先，使用幂组合器将 $x$ 和 2 组合得到 $x^2$，如下图所示：

graph LR
    x --> x2
    2 --> x2
    x2[