24、直线交点的求解与应用

直线交点的求解与应用

1. 直线标准方程的推导

1.1 具体示例推导

已知公式 (x + 2y = 8) 是示例小行星某条线段所在直线的方程。现在考虑另一条由点 ((1, 5)) 和 ((2, 3)) 确定的线段。
- 首先求与该直线平行的向量：((1, 5) – (2, 3) = (–1, 2))。
- 因为点 ((2, 3)) 在直线上，所以该直线的参数方程为 (r(t) = (2, 3) + t · (–1, 2))。
- 由 ((x, y) = (2, 3) + t · (–1, 2)) 可得：
- (x = 2 – t)
- (y = 3 + 2t)
- 对上述两式进行变形得到含有相同值 (2t) 的式子：
- (4 – 2x = 2t)
- (y – 3 = 2t)
- 因为两式左边都等于 (2t)，所以 (4 – 2x = y – 3)，整理可得标准方程 (2x + y = 7)。

1.2 一般情况推导

给定两点 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2))，求过这两点的直线方程。
- 直线上的点可表示为 ((x, y) = (x_1, y_1) + t · (x_2 - x_1, y_2 - y_1))，展开可得：
- (x = x_1 + t · (x_2 - x_1))
- (y = y_1 + t · (y_2 - y_1))
- 将 (x_1) 和 (y_1) 移到左边：
- (x - x_1 = t · (x_2 - x_1))
- (y - y_1 = t · (y_