37、聚类：理论与实践方面的深入探讨

聚类：理论与实践方面的深入探讨

1. 聚类相关理论基础

1.1 负边成本与总成本分析

在聚类问题中，负边成本有着重要的理论推导。负边成本的表达式为：
[
\begin{align }
cost_m(FRAC) &= \sum m_{uv}(1 - FRAC(x_{uv}))\
&\geqslant \sum_{spheres B} \sum_{ {u,v} \in B \cap E} m_{uv}(1 - FRAC(x_{uv}))\
&\geqslant \sum_{spheres B} \sum_{ {u,v} \in B \cap E} m_{uv} \left(1 - \frac{2}{c}\right)\
&\geqslant \left(1 - \frac{2}{c}\right) \sum_{spheres B} \sum_{ {u,v} \in B \cap E} m_{uv}\
&= \frac{c - 2}{c} cost_m(SOL)
\end{align }
]
这里的推导基于三角形不等式以及球体半径的(\frac{1}{c})边界条件。而总聚类成本则由正边成本和负边成本组成，即(cost(SOL) = cost_p(SOL) + cost_m(SOL))。通过一系列推导，可得(cost(SOL) \leqslant \max\left{\frac{c}{2} \ln(n + 1), \frac{c - 2}{c}\right} cost(OPT))，这