34、图的割、分隔器与聚类分析

图的割、分隔器与聚类分析

在图论和聚类分析领域，图的割、分隔器以及聚类是非常重要的概念，它们在数据挖掘、机器学习等领域有着广泛的应用。下面我们就来详细探讨这些概念及其相关理论。

1. 相似空间与聚类

• 相似空间与相似图 ：设 $S = (V, s)$ 是一个相似空间，与之关联的相似图 $G_S = (V, E, s)$ 是一个加权图。其中，边集 $E = {(v, v’) \in V \times V | s(v, v’) > 0}$，边 $(v, v’)$ 的权重为 $s(v, v’)$。
• 聚类的定义 ：集合 $V$ 中对象的一个聚类 $\kappa = {C_1, \ldots, C_n}$ 是 $V$ 的一个划分，$\kappa$ 的块 $C_i$ 就是聚类。聚类算法的目标是将相似的对象聚集在一个聚类中，而将相似度低的对象对放在不同的聚类中。
• 割的定义 ：聚类 $\kappa$ 的割 $cut(\kappa)$ 定义为：
• $cut(\kappa) = \sum_{i = 1}^{n} cut(C_i, \overline{C_i}) = \sum_{p = 1}^{m} \sum_{q = 1}^{m} {s(v_p, v_q) | v_p 和 v_q 属于不同的聚类}$

2. 图的连通性与电导

• 连通性定理 ：设 $G = (V, E)$ 是一个图，$V = {v_1, \ldots, v_n}$