15、图论中的共圈、线性空间与相关定理

图论中的共圈、线性空间与相关定理

1. 共圈的基本概念

1.1 共圈的定义

设图 (G = (V, E))，(\kappa = {X, V - X}) 是 (V) 的一个二分划分。(\kappa) 的割（或共圈）是边的集合 (C_G(\kappa) = {e \in E | |e \cap X| = |e \cap (V - X)| = 1})，即由一端在 (X) 中，另一端在 (V - X) 中的边组成。割 (C_G(\kappa)) 的大小 (c_G(\kappa)) 是割中边的数量，(C_G(\kappa)) 也记为 (C_G(X))，称为 (X) 的共边界。图 (G) 的所有割或共圈的集合记为 (C_G)。对于顶点 (v)，割 (C_G(V - {v}, {v})) 由连接 (v) 与图中其他顶点的所有边组成，所以 (|C_G(V - {v}, {v})| = \text{deg}_G(v))。

1.2 示例

例如，对于图 (G = (V, E))，若 (X = {x_1, x_2, x_6})，则共圈 (C_G(X)) 可能由四条边 ({v_1, v_4})，({v_2, v_3})，({v_2, v_4}) 和 ({v_5, v_6}) 组成。

1.3 图的性质与共圈的关系

• 偶数图 ：图 (G = (V, E)) 是偶数图当且仅当对于每个顶点集 (X)，(|C_G(X)|) 是偶数。
• 二分图 ：图 (G = (V, E)) 是二分图当且仅当存在 (V) 的某个子集 (X) 使得 (C_