14、数据结构中的树与二分图

数据结构中的树与二分图

在数据结构和算法领域，树和二分图是非常重要的概念，它们在许多实际应用中都发挥着关键作用。下面将详细介绍kd - 树和二分图的相关知识。

1. kd - 树

kd - 树（k - dimensional tree）是一种用于组织k维空间$R^k$中数据点的数据结构。

1.1 中位数的定义

对于长度为n的数字序列s，其中位数是第$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$小的数。例如，对于序列s = (1, 4, 7, 8, 9)，由于长度n = 5，中位数是第$\lfloor\frac{5}{2}\rfloor$ = 3小的数，即7；对于序列t = (1, 5, 8, 10)，中位数是第2个元素，即5。如果序列是有序的，那么可以在常数时间内找到中位数。

1.2 kd - 树的构建

kd - 树的叶子节点表示$R^k$中的点，每个非叶子节点表示一个超平面，该超平面将$R^k$划分为两个半空间。划分超平面是循环选择的，沿着树向下移动时，会循环使用定义划分平面的轴。

例如，在二维平面中，根节点的划分是x轴对齐的：
$R_x^a = {(x, y) \in R^2 | x \leq a}$
根节点子节点的划分是y轴对齐的：
$R_y^b = {(x, y) \in R^2 | y \leq b}$
子节点的子节点又会是x轴对齐的，依此类推。

以下是一个二维平面上构建kd - 树的示例：
设P是二维平面$R^2$上的一组点：
$P = {(8, 5), (7, 2), (9, 11), (4,